Serie de coseno de Fourier de $e^x$

Question

Estoy tratando de encontrar la extensión par de $e^x$ de la siguiente manera:

$$e^x=a_0+\sum_\limits{n=1}^\infty a_n\cos\left(\frac{n\pi x}L\right)$$ Dado que la extensión es suave a trozos y $f(L)=f(-L)$ podemos diferenciar término por término: $$e^x=-\sum_\limits{n=1}^\infty \left(\frac{n\pi }L\right) a_n\sin\left(\frac{n\pi x}L\right)$$ y diferenciando una vez más $$e^x=-\sum_\limits{n=1}^\infty \left(\frac{n\pi }L\right)^2 a_n\cos\left(\frac{n\pi x}L\right)$$ Ahora comparando con la segunda derivada obtenida con el original, se puede ver que $$a_0=0,\qquad -\left(\frac{n\pi }L\right)^2a_n =a_n$$ Pero, ¿qué hay de malo en esto? ¿Cómo puedo encontrar $a_n$

Answer 1

Usando la observación que hizo @AirConditioner, la extensión par de Fourier de la función exponencial no se puede diferenciar una vez más. Sin embargo, utilizando el teorema que se encuentra en Ecuaciones Diferenciales Parciales de Haberman (página 117, donde creo que también se puede encontrar la prueba):

Si $f’(x)$ es suave a trozos, entonces la serie sinusoidal de Fourier de una función continua $f(x)$ , $$f(x)\sim\sum_\limits{n=1}^\infty B_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$ no puede, en general, diferenciarse término por término. Sin embargo, $$f’(x)\sim \frac1L\left[f(L)-f(0)\right]+\sum_{n=1}^\infty\left[\frac{n\pi}{L}B_n+\frac2L\left((-1)^nf(L)-f(0)\right)\right]\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

Así que basándonos en este resultado podemos expresar $e^x$ como: $$e^x\sim \frac1L\left(e^L-1\right)+\sum_{n=1}^\infty\left[-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2a_n+\frac2L\left((-1)^ne^L-1\right)\right]\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) $$ Y comparando con la ecuación de partida $$\begin{cases} a_0= \frac1L\left(e^L-1\right)\\ a_n=\frac2L\cdot\frac{(-1)^ne^L-1}{1+\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2},\,\, n\geq 1 \end{cases}$$ Ahora que se han hallado los coeficientes, basta con introducirlos en la serie original.

Nota: Esta es una forma sutil de resolver este problema; una forma más fácil podría ser simplemente aplicando la definición de encontrar los coeficientes de las series de coseno (que implica la integración).

Answer 2

Aviso: Esta es una respuesta parcial, y no encuentra un valor para $a_n$ .

Creo que el problema con el enfoque anterior es que $$e^x=-\sum_\limits{n=1}^\infty \left(\frac{n\pi }L\right) a_n\sin\left(\frac{n\pi x}L\right)$$

es la serie de Fourier para la extensión impar de $e^x$ que no se puede diferenciar término a término porque la extensión impar de $e^x$ tiene una discontinuidad en $x=0$ (tampoco tenemos ya $f(L)=f(-L)$ ):