¿Cómo mostrar que$f(x)$ es$0$ en el siguiente problema?

Question

Deje $f$ ser una función continua definida en $[a, b]$. Asumir que existe constantes $α$ e $β$ con $(α ≠ β)$ tales que
$$\alpha\int_a^x f(u)du + β\int_x^bf(u)du = 0 $$ for all $x$ belonging to $[a,b]$. Show that $f(x) = 0 $ for all $x$ belonging to $[a,b]$.

Mi intento: si tomamos $x = a$, entonces obtenemos $\int_a^bf(x)dx = 0$. Sin embargo, esto no implica $f(x)$ es $0$.

Answer 1

Sugerencia: \begin{align}\frac{d}{dx}\left(\alpha\int_a^xf(u)du+\beta\int_x^bf(u)du\right)=(\alpha -\beta)f(x)\end {align}

Answer 2

Tenga en cuenta que \begin{align*} \alpha \int_a^x f + \beta \int_x^b f = \beta\int_a^b f + (\alpha - \beta)\int_a^x f. \end {align *} En particular, la configuración $x= 0$ muestra que $\int_a^bf = 0$ . Por lo tanto, $\int_a^x f$ para todos $x\in[a, b]$ . Como $f$ es continuo, debe desaparecer en todas partes.