Presentación de la abelianización de$G$.

Question

El abelianization de un grupo de $G$ es un grupo abelian $A$ y un homomorphism $\varphi: G \to A$ si $B$ es cualquier grupo abelian, y $\phi: G \to B$ es cualquier homomorphism, no hay una única homomorphism $\psi: A \to B$ (que podría depender de las $\phi$) tal que $\psi\varphi = \phi$.

Ahora, estoy leyendo algunas notas de la conferencia, y el siguiente es afirmada.

Si $G = \langle e_1, e_2, \ldots, e_n \mid w_1, w_2, \ldots, w_m\rangle$ es un finitely presentado el grupo, entonces$$A = \langle e_1, e_2, \ldots, e_n \mid w_1, \ldots, w_m, [e_1, e_2], \ldots, [e_i, e_j], \ldots, [e_{n - 1}, e_n]\rangle$$is a presentation of the abelianization of $G$, where the homomorphism $\varphi: G\a$ sends the equivalence class of $w$ in $G$ to the equivalence class of $w$ in $A$ for each word $w \in G$.

Para mí, esto no es un a priori claro en absoluto. Podría alguien decirme por qué esto es cierto?

Answer 1

En realidad, en la categoría de grupos abelianos , la misma presentación$\langle e_1,\dots\,|\, w_1,\dots\rangle$ funciona para la abelianización de$G$.

Pero volviendo a los grupos generales, tenemos que codificar la Abelianness, es decir, que cada par de elementos conmute. Basta con plantear que cada par de elementos generadores conmute.
Y esos son exactamente los datos adicionales en la fórmula de la presentación de abelianización entre grupos.