Base para$\text{Mat}_2(\mathbb{Z})$ como$\mathbb{Z}[i]$ - módulo

Question

Deje $M=\text{Mat}_2(\mathbb{Z})$ a $\mathbb{Z}[i]$-módulo de la multiplicación escalar $$(a+bi)\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}.$$ Deje $N=\Big\{\begin{pmatrix}x&x\\z&z\end{pmatrix}:x,z\in\mathbb{Z}\Big\}$ ser un submódulo de $M$.

1. ¿Qué es una base de $M$ sobre $\mathbb{Z}[i]$?
2. $N$ es cíclica módulo, lo que es un generador de $N$?
3. ¿Cómo puedo demostrar que $M/N$ como $\mathbb{Z}[i]$-módulo es isomorfo con $\mathbb{Z}[i]$?

Lo que he hecho:

1. Debo encontrar linealmente independientes elementos de $M$ de manera tal que cada elemento de $M$ puede ser escrito como una combinación de estos. Son estos elementos los cuatro matrices con $1$ y todos los ceros?

2. Me temo que yo simplemente no veo este (todavía). :(

3. Supongo que $M/N=\{\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}:x,y\in\mathbb{Z}\}$, aunque no puedo ver de inmediato el por qué.

Answer 1

Para (1), los cuatro matrices que he descrito no son linealmente independientes: por ejemplo, usted tiene que $$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0.$$

Sin embargo, si usted escribe $$z\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}z_1 & w_1 \\ z_2 & w_2 \end{pmatrix}$$ for arbitrary $z = z_1 + i z_2$ and $w=w_1 + iw_2$ you see that these two matrices generate all of $M$ de una manera única.

Para (2), como ya has visto, la matriz $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ genera $N$.

Para (3), afirmo que el único elemento $$\mu =\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + N$$

constituye una base para $M/N$. De hecho, hemos

$$\begin{pmatrix}x & y \\ z & w \end{pmatrix} + N = \begin{pmatrix}x-y & 0 \\ z-w & 0 \end{pmatrix} + N = ((x-y)+i(z-w))\mu$$

para cualquier elemento de $M/N$. Además, $\{\mu\}$ es linealmente independientes porque para cualquier $z = z_1 + iz_2$ hemos

$$z\mu = 0 \text{ in } N \iff \begin{pmatrix}z_1 & 0 \\ z_2 & 0 \end{pmatrix} \in N \iff z_1 = z_2 = 0.$$

Por lo tanto $M/N$ es un servicio gratuito de $1$-dimensional $\mathbb{Z}[i]$-módulo, por lo tanto es isomorfo a $\mathbb{Z}[i]$.