Deje $M=\text{Mat}_2(\mathbb{Z})$ a $\mathbb{Z}[i]$-módulo de la multiplicación escalar $$(a+bi)\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}.$$ Deje $N=\Big\{\begin{pmatrix}x&x\\z&z\end{pmatrix}:x,z\in\mathbb{Z}\Big\}$ ser un submódulo de $M$.
- ¿Qué es una base de $M$ sobre $\mathbb{Z}[i]$?
- $N$ es cíclica módulo, lo que es un generador de $N$?
- ¿Cómo puedo demostrar que $M/N$ como $\mathbb{Z}[i]$-módulo es isomorfo con $\mathbb{Z}[i]$?
Lo que he hecho:
Debo encontrar linealmente independientes elementos de $M$ de manera tal que cada elemento de $M$ puede ser escrito como una combinación de estos. Son estos elementos los cuatro matrices con $1$ y todos los ceros?
Me temo que yo simplemente no veo este (todavía). :(
Supongo que $M/N=\{\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}:x,y\in\mathbb{Z}\}$, aunque no puedo ver de inmediato el por qué.