¿Cómo debe uno prepararse para estudios de posgrado en probabilidad?

Question

Tengo una licenciatura en Probabilidad y Estadística, y estoy pensando en entrar en un programa de posgrado de Doctorado. Creo que me siento bastante fuerte en la teoría de la probabilidad y me gustaría hacer la investigación en el área.

Sin embargo, estoy un poco confundido acerca de que la investigación actual en la probabilidad de asistir. Me fui a través de algunas revistas de renombre en la Probabilidad como los Anales de la Probabilidad y de la Revista de la Probabilidad Teórica. Yo estaba un poco decepcionado al ver que en la actualidad la investigación en la probabilidad constituye la combinatoria o ecuaciones diferenciales. Hay un montón de modelos, principalmente de la Física Estadística de la literatura.

Me gusta la probabilidad y la estadística matemática. Yo realmente no quiero estar en la combinatoria, nunca me gustó el campo. Pero de lo que probabilists actualmente están interesados en, parece que la búsqueda de espera tamaños de clúster en grafos aleatorios y haciendo triangulaciones y esas cosas son todos los que están pasando.

Donde se hizo la investigación similar a la de Stein ir? En mi universidad estoy haciendo cursos como el movimiento Browniano, los Procesos Empíricos, Martingala teoría, etc. Sin embargo, yo no encuentro ningún artículo sobre estos. Son estas demasiado anticuado? El mercado ha sido ocupada totalmente por los triángulos y los gráficos? Es la probabilidad demasiado inmerso en "modelos"? Uno de mis profesores dijo, "Todo es una modelo!" Entonces cual es la identidad de un sujeto? Todo el mundo que parece hacer de la probabilidad y es lo suficientemente famosa parece estar haciendo estas!

Creo que es tiempo para realmente entender donde la investigación en la probabilidad que está pasando en la actualidad. Llevo mucho tiempo decepcionado de no ver el gran programa de la probabilidad, como Perfectoid espacios o Langland del programa en la Teoría de números. No hay ninguna gran teoría que la gente intenta comprender.

¿Cómo funciona un estudio prospectivo de un estudiante de posgrado, de entender cuál es el objetivo de la probabilidad? Lo de la no-combinatoria áreas de la probabilidad? Cómo activo son? ¿Cuáles son algunos de los recursos o trabajos influyentes en estos?

¿Qué se debería aprender en el fin de atacar los problemas modernos de la probabilidad? Como ya he dicho, en otros temas hay cosas que aprender. Hay interconexiones entre la Geometría Algebraica y Algebraica K de la Teoría. Entiendo que tales teorías no están allí en la probabilidad, ya que es demasiado joven. Eva, si existen, son realmente las áreas activas?

Answer 1

Estoy haciendo una investigación en la teoría de los procesos estocásticos, y en mi respuesta voy a intentar dar una idea de lo que las personas están actualmente interesados en. Tenga en cuenta que estos no son necesariamente los "más importantes" o "más interesante" de los temas.

En mi universidad estoy haciendo cursos como el movimiento Browniano, los Procesos Empíricos, Martingala teoría, etc. Sin embargo, yo no encuentro ningún artículo sobre estos. Son estas demasiado anticuado?

Sí y no. Todavía hay muchas preguntas abiertas sobre estos temas, pero me parece que hoy probabilits no están demasiado interesados en la mayoría de ellos. En parte, creo yo, es como con los juguetes: Después de jugar con un juguete para un cierto tiempo, es muy aburrido y usted está satisfecho lo suficiente como para obtener una nueva.

Uno de estos (en lugar) de los nuevos juguetes es el movimiento Browniano fraccional, que es una generalización de movimiento Browniano. De manera más general, esto conduce a fracciones de campos y Lévy campos; véase, por ejemplo

Serge Cohen, Jacques Istas: fracciones de Campos y Aplicaciones. Springer

para una introducción. Fracciones de los procesos son cada vez más importantes en las aplicaciones, ya que permiten modelar a corto y largo plazo de la dependencia (que obviamente no es cierto para el movimiento Browniano porque tiene incrementos independientes).

Un no-tan-nuevo juguete son Lévy procesos, es decir, los procesos estocásticos con independientes y estacionarios incrementos (movimiento Browniano es un caso muy particular de un proceso de Lévy). Hay una gran cantidad de interés en el calor del núcleo de las estimaciones para la transición de las densidades de procesos de Lévy. Por otra parte, hay muchas preguntas abiertas sobre la existencia de soluciones de Lévy-impulsado ecuaciones diferenciales estocásticas, es decir,

$$dX_t = b(X_{t-}) \, dt + \sigma(X_{t-}) \, dL_t \tag{1}$$

donde $(L_t)_{t \geq 0}$ es un proceso de Lévy. Si $b$ e $\sigma$ son de Lipschitz continua, entonces todo es bonito, pero para la irregularidad de los coeficientes de $b$ e $\sigma$ (por ejemplo, Hölder continua) la existencia de soluciones no se entiende bien. Hay una gran cantidad de investigación en esta dirección. Temas relacionados son hacia atrás SDEs (BSDEs), la SDEs con retraso y estocástico de regularización.

Durante mi tesis doctoral he estudiado los llamados Feller procesos. A grandes rasgos se comportan de forma local como un proceso de Lévy, pero la Lévy triplete depende de la posición actual del proceso; por ejemplo, una solución a la SDE $(1)$ es un Talador de proceso (al menos si $b$ e $\sigma$ están delimitadas). Una buena introducción es la primera parte del libro

Davar Khoshnevisan, René Schilling: De Lévy-Tipo de Procesos a Parabólico SDEs. Birkhäuser

y (pero este es el más avanzado de los lectores)

Björn Böttcher, René Schilling, Jian Wang: Lévy Asuntos III. Springer.

Permítanme enumerar algunas más activa en temas de investigación:

• estocástico de ecuaciones diferenciales parciales (muy popular y activo)
• camino áspero de la teoría
• las grandes desviaciones (ver, por ejemplo, Dembo & Zeitouni para una introducción)
• Procesos de Markov (heat kernel estimaciones, ergodic theory, funcionales desigualdades (ver, por ejemplo, Bakry & Gentil), selfsimilar procesos de Markov, ...)