Podría alguien dar una diletantes explicación de la relación entre el QFT y el nudo de la teoría? ¿Cuáles son las ideas centrales en Wittens trabajo en el polinomio de Jones?
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Mike Miller
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Soy un topologist que utiliza la teoría de gauge. Esta respuesta refleja mi gusto y el de fondo. No tengo pretensiones de exactitud histórica. Sería bueno ver las respuestas de las personas con las perspectivas de otros.
En la década de los 80, Donaldson usado de Yang-Mills teoría con gran efecto en el estudio de la topología de lisa de 4 colectores. En ella, uno (en cierto sentido) de los recuentos de soluciones para la PDE $F_A^+ = 0$ definido en el espacio de las conexiones en un suave colector $M$. Voy a llamar a soluciones a este instantons y la ecuación de la instanton ecuación. Más tarde, Seiberg y Witten introdujo la (relativa) de Seiberg-Witten ecuaciones, lo que condujo a mucho menos pruebas técnicas de muchos de los mismos teoremas. Las soluciones a estas ecuaciones se llaman los monopolos, y los invariantes que recibe de contar ellos son llamados los Seiberg-Witten invariantes.
En el estudio de la Thom conjetura más generales de la contigüidad de las desigualdades, Kronheimer y Mrowka fueron llevados a la idea de estudiar los monopolos que fueron singular a lo largo de una incrustado superficie $\Sigma$. Este fue un extraordinario éxito de la avenida de la investigación.
Ortogonalmente, después de Floer original de la invención de Floer homología de grupos, se dio cuenta de que la instanton y monopolo invariantes de ajuste en la ordenada el formalismo de un TQFT (bueno, la mayoría). Mediante la técnica de reducción dimensional, y siguiendo el idaes de Floer de la construcción, cada conectado orientable 3-colector $Y$ presenta homología de grupos de $HF(Y)$ (diferente dependiendo de si usted está utilizando instanton o monopolo invariantes; hay otras relacionadas con construcciones), y para cada cobordism $W: Y \to Y'$ obtenemos un mapa de $HF(Y) \to HF(Y')$ satisfacer ciertos criterios. Equivalentemente, desde la perspectiva de TQFT, cada 4-colector $W$ con límite de $Y$ tiene un (instanton o monopolo) invariantes que viven en $HF(Y)$; se obtiene el original invariantes por la eliminación de una bola de 4 y mirando a los invariantes en $HF(S^3) \cong \Bbb Z$. Existen numerosas dificultades técnicas me han evitado o mentido en este párrafo.
Uno empieza a pensar: bueno, la idea de estudiar los monopolos singular a lo largo de una superficie parecía bastante bueno. ¿Por qué no me tome la reducción dimensional de esa idea? Hacerlo así, y obtener un $HF(Y,K)$, el "nudo Floer homología" de un nudo $K \subset Y$. Este es functorial con respecto a cobordisms $(W,\Sigma): (Y,K) \to (Y',K')$ y consigue una especie de nudo TQFT.
Estoy un poco incómodo diciendo esto con absoluta certeza, pero en el monopolo caso, la (clasificado) característica de Euler de $HF(S^3,K)$ debe ser el polinomio de Alexander $K$. (No recuerdo lo que es para los instanton nudo Floer homología; yo no creo que el polinomio de Alexander) Este es un conocido nudo invariante. Uno se podría preguntar: bien, ¿y el polinomio de Jones? ¿Que ven como la característica de Euler de algún grupo? Bueno, sí, pero no uno que, obviamente, se define a través de la teoría de gauge: es la característica de Euler de Khovanov de homología. Ahora, por separado, en una historia que no sé muy bien, Witten dio una construcción del polinomio de Jones en un camino definido por Chern-Simons en la teoría; mi entendimiento es que fue definido por el estudio de soluciones para una ecuación que están en singular a lo largo de un nudo (pero yo realmente no he visto esto mucho en todos).
Esto sugiere que uno debe esperar que haya un medidor, en teoría define la versión de Khovanov de homología, que Witten se describe aquí. Esto todavía no es conocido a trabajar matemáticamente, pero, a mi entender, debe ser algún tipo de "$SL_2(\Bbb C)$-Floer homología" frente a la $SU(2)$ o $SO(3)$ o $S^1$basado en la de arriba. (Tenga en cuenta que $SL_2(\Bbb C)$ no es compacto. Esto conduce a una extraordinaria cantidad de problemas técnicos - que es por eso que este Floer homología realmente no existe aún). Entonces el polinomio de Jones para los nudos en la arbitraria de los colectores debe ser la característica de Euler de esta cosa. Esta es un área activa de investigación, y una vez terminado, debe ser el lugar natural donde Witten la vida de trabajo.
Matt Dawdy
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Esto no va a ser por cualquier medio un "laico" explicación, pero aquí es algo corto que podría ser útil. Allí no se mucho de física aquí, si eso es lo que estás buscando.
Vamos a dar por sentado, después de Witten, que si $G$ es simplemente conectado compacto de Lie del grupo (por simplicidad) y $k$ es un número entero, entonces no es un 3d topológica de la teoría de campo de los llamados "Chern-Simons teoría con el grupo gauge $G$ y el nivel de $k$." Chern-Simons teoría es llamada así porque su heurística descripción física implica ruta de las integrales donde la acción tiene algo que ver con el Chern-Simons de 3 formulario. No voy a entrar en toda la estructura que este TFT tiene; es suficiente por ahora que se asigna (hasta algunas sutilezas no quiero entrar en)
- un finito-dimensional complejo espacio vectorial $Z(\Sigma)$ a cada superficie cerrada $\Sigma$, y
- lineal en el mapa de $Z(\Sigma_1) \to Z(\Sigma_2)$ a todos los 3d cobordism $M$ $\Sigma_1$ $\Sigma_2$
y estas asignaciones de atender las diferentes compatibilidades. También, usted tendrá que saber una cosa más: el espacio vectorial $Z(T^2)$ asignado al toro tiene una base natural que puede ser identificado con cualquiera de las representaciones irreducibles de los correspondientes bucle grupo ("a nivel de $k$") o con las representaciones irreducibles de una versión de la correspondiente cuántica grupo (para algunos raíz de la unidad $q$ dependiendo $k$). En la física idioma que estos son "Wilson lazo de los operadores".
¿Cómo se puede conseguir nudo invariantes de esto? Dado un nudo $K$ sentado dentro de $S^3$, considere la posibilidad de un tubular vecindario alrededor de ella. El complemento de esta tubular barrio describe un cobordism desde el torus $T^2$ en el vacío del colector, y por lo tanto de golpearlo con Chern-Simons da un lineal mapa
$$Z(T^2) \to \mathbb{C}.$$
Ahora, esta evaluación lineal mapa en una irreductible de la representación, de acuerdo al gusto, ya sea el bucle o el grupo de quantum grupo produce un nudo invariante. Al$G = SU(2)$, y la representación es el estándar, se obtiene el polinomio de Jones evaluado en algunos raíz de la unidad $q$ dependiendo $k$.
