¿Una afirmación aparentemente verdadera?

Question

Deje que $(a_n)$ ser una secuencia de números reales positivos. Si $(a_n)$ no está limitado entonces $ \lim\sup\Big ( \frac {a_n}{1+a_n} \Big )=1$ .

Estuve tentado de hacer la afirmación anterior cuando intenté probar el resultado siguiente:

Deje que $(a_n)$ ser una secuencia de números reales positivos. Si $(a_n)$ no está limitado, entonces muestra que $ \Big ( \frac {a_n}{1+a_n} \Big )$ no tiende a cero.

Mi intento:

Si $(a_n)$ no está limitada, entonces existe un estrictamente en aumento. (?) subsecuente $(a_{n_k})$ de $(a_n)$ de tal manera que $a_{n_k} \to \infty. $

Reclamación : $ \Big ( \frac {a_{n_k}}{1+a_{n_k}} \Big )$ es una secuencia positiva de aumento monótono.

\begin {alinear} \frac {a_{n_{k+1}}}{1+a_{n_k+1}}- \frac {a_{n_k}}{1+a_{n_k}}= \frac {a_{n_{k+1}}-a_{n_k}}{(1+a_{n_k+1})(1+a_{n_k+1})}> 0 \hspace {3mm}( \because a_{n_{k+1}}-a_{n_k}>0) \end {alinear}

Por lo tanto $ \Big ( \frac {a_{n_k}}{1+a_{n_k}} \Big )$ es monótona. También es evidente que se trata de una secuencia positiva.

Dado que existe una subsecuente que no tiende a cero implica que $ \Big ( \frac {a_n}{1+a_n} \Big )$ no tiende a cero. $ \hspace {15cm} \blacksquare $

Me parece que este particular subsecuente no tiene razón para converger a ningún número que no sea $1.$ ¿Es cierta mi afirmación?

Answer 1

$ \lim_ {x \to \infty } \frac x{1+x} =1$ . Así que si $a_{n_k} \to \infty $ entonces $ \frac {a_{n_k}} {1+a_{n_k}} \to 1$ .

Desde $ \frac {a_n} {1+a_n} <1$ para todos $n$ podemos concluir que el límite superior es $1$ .

Answer 2

Sólo comparto mi opinión. Supongamos lo contrario, $x_n= \frac {a_n}{1+a_n}$ tiende a cero, entonces para cualquier $0< \epsilon <1$ hay un $N \in\Bbb N$ de tal manera que.., $x_n< \epsilon , \forall n \ge N$ que da $ \displaystyle a_n< \frac { \epsilon }{1- \epsilon }, \forall n \ge N$ . Ahora toma $M=max\{ \frac { \epsilon }{1- \epsilon },a_1,...,a_{N-1}\}$ vemos $a_n<M, \forall n \in\Bbb N$ es decir, Bounded, una contradicción que $\{a_n\}$ no está limitado. Así que la secuencia $\{x_n\}$ no tiende a cero.