¿Por qué no es posible integrar sobre una singularidad?

Question

Me encontré con una pregunta que dice que la siguiente integral no existe

$$\displaystyle \int_{-4}^{4} \frac{1}{x+2} \,\mathrm dx$$

He visto preguntas similares aquí donde la gente ha dicho que se pueden integrar y lo han demostrado. Estoy confundido en cuanto a si puede ser o no.

Answer 1

Depende del tipo de integral que se considere. Por ejemplo, la integral de $-4$ a $-2-\epsilon$ más la integral de $-2+\epsilon $ a $0$ desaparece para cada $\epsilon >0$ por lo que la integral dada es $\int_0^{4} \frac 1{x+2} dx=ln(6)-ln(2)=\ln(3)$ en un sentido limitante. Pero la integral de $-2$ a $4$ es $\infty$ por cálculo directo , por lo que en el sentido habitual la integral no existe.

Agradezco a Raymond Manzoni su ayuda para corregir un error.

Answer 2

Estrictamente no se puede integrar algo así, ya que esta singularidad causa varios problemas. Si nos limitáramos a calcular el valor utilizando el cálculo normal e ignorando la presencia de ésta, encontraríamos el Valor del principio de Cauchy Sin embargo, esto supone efectivamente que la asíntota hacia arriba es igual en magnitud a la de abajo, por lo que se "cancelan". Sin embargo, en la mayoría de las áreas de las matemáticas no se puede suponer que "todos los infinitos son iguales", por lo que esto se consideraría divergente.

Answer 3

La integral de Riemann $\displaystyle \int_{-4}^{4} \frac{1}{x+2} \,\mathrm dx$ como ningún valor definido ya que la función $\frac{1}{x+2}$ no es finito en $x=-2$ y este punto está en el rango de integración.

Pero la integral tiene un significado diferente en el sentido del valor principal de Cauchy:

$$PV\displaystyle \int_{-4}^{4} \frac{1}{x+2} \,\mathrm dx = \lim_{\epsilon\to 0}\left(\displaystyle \int_{-4}^{-2-\epsilon} \frac{1}{x+2} \,\mathrm dx +\displaystyle \int_{-2+\epsilon}^{4} \frac{1}{x+2} \,\mathrm dx\right)= \ln(3)$$

http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html

Por tanto, tened en cuenta que la respuesta no es la misma si la pregunta se refiere al valor de una integral de Riemann definida y a una integral en sentido del valor principal de Cauchy que se denota con $PV$ frente a la integral.