A mí me parece (que se parece bastante a la de matemáticas novato) que una muy importante 'declaración', por falta de una palabra mejor, que es fundamental para muchos de los temas matemáticos es que una determinada curva, que es continua y diferenciable, puede ser construido a partir de un montón de líneas rectas mientras hacemos esas líneas lo suficientemente pequeño'. Para un 2D caso, yo interpreto esto como ser capaz de construir una curva que pasa a través de un plano en 2D, utilizando solamente poco $\Delta x$ 's y poco $\Delta y$ 's. Me pregunto cómo uno va sobre lo que demuestra esta afirmación. A mí me parece un buen punto de partida puede ser ilustrada mediante la siguiente imagen:
Supongo que debo aclarar que yo soy simplemente el uso de este círculo como punto de partida para este argumento...esto podría ser cualquier curva arbitraria (no sólo de la circunferencia de un círculo...aunque supongo que es probable que haya una prueba de allí que muestra pequeñas secciones de una curva también puede ser aproximada por una longitud de arco de un círculo con un radio determinado,...pero esa es otra cuestión para otro momento).
Entonces, la pregunta que quiero una respuesta es la siguiente: Como $\Delta x$ es muy pequeña (y su correspondiente $\Delta y$, basado en el comportamiento de la curva, o, más específicamente, basado en la función que describe la curva, también se hace muy pequeño ), hace
$(r*\Delta \theta) / (\sqrt{(\Delta y)^2+(\Delta x)^2)}$ enfoque de la 1.0?
¿Cómo uno va sobre el probar esto? Me siento como la mayoría de los argumentos que se me ocurre son más bien circular...en el que tengo que utilizar una propiedad que se basa en lo que yo quiero probar con el fin de probarlo! Hay una prueba para este límite? O se trata simplemente de un axioma aceptamos para ser verdad?
Edit 1: Se ha traído a mi atención que la inclusión de la palabra "diferenciable" como una característica de una curva crea un argumento circular por lo que me gustaría probar. La lógica detrás de esa afirmación es "si la curva es diferenciable, entonces por supuesto que una curva puede ser descompuesto en sus segmentos de línea debido a que es la definición de diferenciables". Suponiendo que esto es cierto, por favor ignore la palabra 'diferenciable'. Estoy interesado en la solución de los anteriormente mencionados límite como si nunca supe que el cálculo que existían!
