Una triple integración que necesita un cambio de frontera

Question

Evaluar la integral: (Sin calculadora, sólo a mano)

$$\int_0^1\int_0^{1-x}\int_y^1\frac{\sin(\pi z)}{z(z-2)}\,dz\,dy\,dx$$

La respuesta del problema utiliza una visualización de la frontera y cambia el orden de integración de manera que $0\leq z\leq 1; ~~ 0\leq y\leq z ; ~~ 0\leq x\leq 1-y$ y cambió el orden a $dx\,dy\,dz$ . Y luego se resuelve fácilmente. Quiero saber si hay alguna manera de resolver este cambio de límites sin visualizando la forma? y utilizando sólo desigualdades algebraicas? ¿Cómo?

Nótese que no quiero usar esta visualización. porque a veces para algunos planos que no se visualizan muy bien, la respuesta se complica mucho. y quiero un método para encontrar la manera de cambiar el orden de integración. Al menos en los problemas de intersección de planos y líneas.

Answer 1

En mi experiencia, cambiar el orden de integración cuando los límites son variables es a veces posible, pero nunca intuitivo. Trazar la región es uno de esos pasos que no puedo saltarme sin que algo salga mal, así que simplemente no me salto ese paso. Nunca. Hay que admitir que es aún más difícil en 3D que en 2D, pero aún así recomendaría trazar la región y visualizar cada variable como funciones de otras variables. Puede que no sea la respuesta que quieres oír, pero es mi respuesta. Naturalmente, si los límites son todos constantes, entonces es mucho más fácil cambiar el orden - su región es rectangular.