Conjunto de ecuaciones generadoras de restas.

Question

Consideremos la estructura algebraica $(\mathbb{R}, -)$ . ¿Existe un conjunto generador finito de ecuaciones para la resta, y si es así, puede alguien exponer una lista de ecuaciones.

Answer 1

Escribiré una base finita para las identidades de la estructura $\langle \mathbb R; -\rangle$ . Cada una de estas identidades pretende ser cuantificada universalmente. (En lugar de escribir $x-y$ Escribiré $s(x,y)$ .)

• $s(x,x)=s(y,y)$
• $s(s(x,y),s(u,v))=s(s(x,u),s(y,v))$
• $s(x,s(y,y))=x$

• $s(x,s(x,y))=y$

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  Para un grupo abeliano $\langle A; +, -, 0\rangle$ llame al $\langle A; -\rangle$ la estructura de sustracción asociada. Dado que $\langle \mathbb R; +,-,0\rangle$ tiene subgrupos abelianos libres de todos los rangos finitos, $\langle \mathbb R; -\rangle$ tiene estructuras de sustracción libres de todos los rangos. Por lo tanto, la teoría ecuacional de $\langle \mathbb R; -\rangle$ es la misma que la teoría ecuacional de todas las estructuras de sustracción de grupos abelianos. Está claro que los cuatro axiomas que he dado se mantienen en esta clase. Así pues, basta con explicar por qué cualquier estructura que satisfaga los axiomas es la estructura de sustracción de algún grupo abeliano.

  Sea $\langle X; s(x,y)\rangle$ sea un conjunto dotado de una operación binaria que satisfaga los cuatro axiomas. El segundo axioma dice que $s(x,y)$ conmuta consigo misma. La 3ª y la 4ª dicen que $m(x,y,z)=s(x,s(y,z))$ es una operación de Maltsev en $X$ . La operación Maltsev también debe conmutar consigo misma. Se sabe que una operación de Maltsev que conmuta consigo misma en un conjunto $X$ debe ser igual a $x-y+z$ para alguna estructura de grupo abeliano unívocamente determinada en $X$ . Es decir, existe alguna estructura de grupo abeliano sobre $X$ , digamos $\langle X; +, -, 0\rangle$ tal que $m(x,y,z)=x-y+z$ . Pero ahora $s(x,y)=m(x,y,s(z,z))=x-y$ por lo que la operación dada $s$ coincide con la resta del grupo abeliano. El argumento muestra que cualquier $s$ satisfaciendo los cuatro axiomas concuerda con la operación de sustracción de algún grupo abeliano, que es todo lo que necesitábamos demostrar.