Me he decidido a escribir mi pregunta casi totalmente: Vamos a $Y$ ser una compacta (sin límite) Calabi-Yau colector, es decir, $c_1(Y)=0$ en $H^2(Y, \mathbb{R})$. Deje $\omega$ ser un Kähler forma en $\mathbb{C}^m \times Y$ y deje $\omega_P = \omega_{\mathbb{C}^m} + \omega_Y$. Se puede demostrar (véase, por ejemplo, la primera declaración de [1, Teorema a]) $\zeta = \omega - \omega_P$ es un exacto $(1,1)$-forma, es decir, $\zeta = d\xi$ de $1$forma $\xi$ a $\mathbb{C}^m \times Y$.
Mi pregunta se refiere a la obtención de un modo más directo la prueba de la Declaración (ii) de [1, Teorema]. Es decir, estoy tratando de demostrar que existe una automorphism $T$ de $\mathbb{C}^m$ tales que $$\omega = T^{\ast} \omega_{\mathbb{C}^m} + \omega_Y + \sqrt{-1}\partial \overline{\partial} \varphi,$$ for some smooth $\mathbb{R}$-valued function $\varphi$.
La prueba dada en [1, la Proposición 3.1] es demasiado abstracta, y me gustaría una prueba a lo largo de las mismas líneas que la de Poincaré lema y el Dolbeault lema. En [2], los autores escriben $\omega$ puede ser expresada en coordenadas locales como \begin{eqnarray*} \omega &=& \hat{\omega}_{\mathbb{C}^m} + \omega_Y + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n dz^i \wedge \eta^i + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n d\overline{z}^i \wedge \overline{\eta}^i, \end{eqnarray*}
donde $\eta^i = \left( \frac{\partial}{\partial z^i} \ \llcorner \ \omega \right) $ (aquí se $\llcorner$ denota el producto en el interior), y $\hat{\omega}_{\mathbb{C}^m} = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^m u_{i \overline{j}} dz^i \wedge d\overline{z}^j$ para algunos Hermitian matriz $(u_{i \overline{j}})$.
Yo podría ser capaz de hacer un montón de progreso si $\sum_{i=1}^m dz^i \wedge \eta^i + \sum_{i=1}^m d\overline{z}^i \wedge \overline{\eta}^i$ podría ser escrito como $\partial \overline{\partial}\varphi$ por alguna función suave $\varphi$.
Referencias:
[1] Hein, H.-J., Un teorema de Liouville para el complejo de Monge-Ampère ecuación sobre el producto colectores, arxiv: 1701.05147. (https://arxiv.org/abs/1701.05147)
[2] Li, C., Li, J. Zhang, X., Un valor medio de la fórmula y un teorema de Liouville para el complejo de Monge-Ampère ecuación, arxiv: 1709.05754. (https://arxiv.org/abs/1709.05754)
Un intento de: Deje $(z_1, ..., z_m, z_{m+1}, ..., z_{m+n})$ denotan las coordenadas locales en $\mathbb{C}^m \times Y$. Desde el Kähler formas $\omega$ e $\omega_{\mathbb{C}^m} + \omega_Y$ son cohomologous, existe una verdadera $1$forma $\xi$ tales que $$\omega = \omega_{\mathbb{C}^m} + \omega_Y + d \xi.$$ Comparing the degrees of these forms, it is clear that if we decompose $\xi = \xi^{1,0} + \xi^{0,1}$ according the decompositon $\Lambda^1 = \Lambda^{1,0} \oplus \Lambda^{0,1}$, then $\parcial \xi^{1,0} = 0 = \overline{\parcial} \xi^{0,1}$. Por lo tanto, vemos que \begin{eqnarray*} \omega &=& \omega_{\mathbb{C}^m} + \omega_Y + \partial \xi^{0,1} + \overline{\partial} \xi^{1,0}. \end{eqnarray*}
Siguiente [2], establezca $\eta^i = \left( \frac{\partial}{\partial z^i} \ \llcorner \ \omega \right) \Bigg \vert_{\{ z \} \times Y}$. Si escribimos $\omega = \frac{\sqrt{-1}}{2} \sum_{i,j=1}^{m+n} g_{i \overline{j}} dz^i \wedge d\overline{z}^j$, entonces \begin{eqnarray*} \eta^i &=& \frac{\sqrt{-1}}{2} \sum_{j=m+1}^{m+n} g_{i \overline{j}} d\overline{z}^j. \end{eqnarray*}
Por lo tanto, vemos que \begin{eqnarray*} &&\sum_{i=1}^n dz^i \wedge \eta^i + \sum_{i=1}^n d\overline{z}^i \wedge \overline{\eta}^i \\ &=& \frac{\sqrt{-1}}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=m+1}^{m+n} g_{i \overline{j}} dz^i \wedge d\overline{z}^j+ \frac{\sqrt{-1}}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=m+1}^{m+n} g_{j \overline{i}} dz^j \wedge d\overline{z}^i. \end{eqnarray*}
El reclamo de [2] es que ahora existe un Hermitian matriz $(u_{i \overline{j}})$ tal que $\omega = \hat{\omega}_{\mathbb{C}^m} + \omega_Y + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n dz^i \wedge \eta^i + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n d\overline{z}^i \wedge \overline{\eta}^i$.
