¿Cuántos números de$4$ dígitos$x_1x_2x_3x_4$ satisfacen$x_1\leq x_2 \leq x_3 \leq x_4$?

Question

Cuántos números de $4$ dígitos $x_1x_2x_3x_4$ satisfacer $x_1\leq x_2 \leq x_3 \leq x_4$?

Lo que he trabajado hasta ahora:

He identificado esta situación con la distribución de las $4$ objetos iguales entre $9$ diferentes cajas (dígitos de $1$ a $9$).

Por lo tanto, la solución de la cuestión propuesta debe ser equivalente a la resolución de la número de número entero de soluciones de la siguiente ecuación: $$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6+y_7+y_8+y_9=4\\ y_i\geq0 \quad \forall i\en\{1,2,...,9\}$$

El total de las soluciones de estas ecuaciones son: $$\text{CR}_{9}^{4}={4+9-1 \choose 4}={12 \choose 4}=\frac{12!}{4!\cdot8!}=11\cdot9\cdot5=495\text{ posibilities}$$

Hay otro enfoque que creo que es más práctico? Es este razonamiento correcto?

Aclaraciones: Si una distribución de los objetos es $6292$ (cuadro nº 6 es el primer cuadro donde puedo distribuir un objeto; cuadro nº $2$ el segundo; cuadro nº $9$ el tercero y el cuadro nº $2$ el cuarto). El orden en el que las cajas de distribuir los objetos en realidad no importa porque los objetos son idénticos, por lo que puedo cambiar el resultado para obtener $2269$ que es una combinación que verifica la restricción dada.

Answer 1

Otra manera es establecer $x_0 = 1$ e $x_5 = 9$. A continuación, definir $$ t_i = x_i - x_{i-1} ~~~~(i = 1, 2, 3, 4, 5) $$ como el "salto" de la $i$th dígitos desde el dígito anterior.

Ahora \begin{align} t_1 + t_2 + \ldots + t_5 &= (x_1 - x_0) + (x_2 - x_1) + \ldots + (x_5 - x_4)\\ &= (-x_0 + x_1) + (-x_1 + x_2) + \ldots + (-x_4 + x_5)\\ &= -x_0 + (x_1 -x_1) + (x_2 - x_2) + \ldots + (x_4 -x_4) + x_5\\ &= -x_0 + x_5\\ &= -1 + 9 = 8\\ \end{align}

Los números de $t_i$ son todos no negativos, y su suma es exactamente $8$. Terminamos (usando el doble de su razonamiento) que necesitan para calcular $$ \binom{5+8-1}{8} = \binom{12}{8} = \binom{12}{4} = 495. $$

Answer 2

Su solución es correcta a pesar de que me tomó algún tiempo para comprender la equivalencia entre el problema y el problema de configurar en su solución. He aquí cómo me gustaría abordar el problema:

La inicial dígito no puede ser $0$ , así que siempre estoy eligiendo dígitos de $1$ través $9$.

Si mi número de ha $4$ distintos dígitos, entonces no hay un único camino para el fin de ellos. Esto le da a me $\binom{9}{5}=126$ posibilidades.

Hay $\binom{9}{6}=84$ formas de elegir los $3$ distintos dígitos. Cada una de estas formas me da $3$ números posibles (me puede elegir cualquiera de los tres dígitos repetidos dígitos), por lo que este se añade otro de los $252$ posibilidades.

Hay $36$ formas de elegir los $2$ distintos dígitos. Cada una de estas formas me da $3$ números posibles ($xxyy, xxxy, xyyy$), por lo que este se añade otro de los $108$ posibilidades.

Por último, hay $9$ maneras de elegir un solo dígito, repetido $4$ veces.

Por lo que el número total de respuestas posibles es $126+252+108+9=495.$

Answer 3

Su solución es correcta. Aunque me gusta su enfoque, esta es otra forma de pensar sobre el problema.

Podemos representar cualquier número de cuatro dígitos mediante la colocación de cuatro divisores en una fila de nueve unidades, con los divisores colocado a la derecha del dígito que está incluido en el número. Por ejemplo, podemos representar a $2269$ por $$1 1 \color{blue}{| |} 1 1 1 1 \color{blue}{|} 1 1 1 \color{blue}{|}$$ y $1234$ por $$1\color{blue}{|} 1 \color{blue}{|} 1 \color{blue}{|} 1 \color{blue}{|} 1 1 1 1 1$$ Cada uno de estos números está totalmente determinado por las posiciones de los divisores. Ya que el primer dígito no puede ser cero, la primera de las $13$ símbolos debe ser un $1$. Por lo tanto, cuatro de los restantes $12$ símbolos deben ser divisores. La elección de que cuatro de los doce posiciones serán llenadas de divisores determina el número. Por lo tanto, como usted, hay $$\binom{12}{4}$$ números de cuatro dígitos con los no-decreciente dígitos.