Una forma más rigurosa de demostrar que $x^5 - 3x = 1$ tiene al menos $3$ raíces en $\Bbb R$

Question

Dada una ecuación: $$ x^5 - 3x = 1 $$ Demuestra eso:

• Tiene al menos $1$ raíz en $(1, 2)$ ;
• Tiene al menos $3$ raíces en $\Bbb R$

He empezado por considerar una función $f(x)$ para $x\in [1, 2]$ : $$ f(x) = x^5 - 3x - 1 $$

Entonces, calculando su valor en los lados izquierdo y derecho del intervalo cerrado se obtiene: $$ f(1) = -3\\ f(2) = 25 $$

Aplicando el Teorema del Valor Intermedio se obtiene que existe un punto para $x_0 \in [1, 2]$ tal que $f(x_0) = 0$ . Lo que significa que efectivamente existe al menos una raíz.

Sin embargo, para la segunda parte de la pregunta si consideramos $f(x)$ para $x \in \Bbb R$ La única manera que veo es intentar adivinar los intervalos en los que la función cambia de signo y luego aplicar de nuevo la TVI. Consideremos por ejemplo $f(x)$ para $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$ .

Veo cómo los derivados podrían ser al rescate aquí, el problema es que No puedo usar derivados .

¿Existe una forma rigurosa de demostrar lo que se afirma sin adivinar y sin usar derivadas? Gracias.

Answer 1

Utilicemos la regla del signo de Descartes

$f(x)=x^5-3x-1=0$ el número de cambios de signo en $f(x)$ es uno y el número de cambios sigm en $f(-x)$ son dos. Así que, según la regla de Descarte, esta ecuación puede tener como máximo una raíz real positiva y como máximo dos raíces reales negativas. Así que las reglas de Descarte permiten como máximo tres raíces reales que se pueden localizar como : $f(-\infty)<0, f(-1)=+1, f(0)=-1$ significa que hay al menos una raíz real en $(-\infty, -1)$ y al menos uno en $(-1,0)$ . Siguiente $f(1)=-3, f(2)=+25$ . Así que una verdadera raíz positiva está en $(1,2)$ . En total, esta ecuación tiene tres raíces reales, dos negativas y una positiva.

Answer 2

El método gráfico puede ayudar. $$x^5-3x=1 \stackrel{x\ne 0}{\iff} x^4-3=\frac1x$$ Un boceto:

$\hspace{4cm}$

Nota: Puede saltar rápidamente a los intervalos de interés y comparar los valores y el aumento/disminución de las funciones.

Answer 3

(1) $f(x)=x^5-3x-1$ tiene un cambio de signo en sus coeficientes por lo que como máximo $1$ raíz positiva. También, $f(1).f(2)<0$ asegura exactamente una raíz positiva situada en $(1,2)$ .

(2) $f(-x)=-x^5+3x-1$ tiene dos cambios de signo en sus coeficientes por lo que como máximo $2$ raíces negativas O más precisamente $0$ o $2$ raíces negativas ( posibilidad de exactamente $1$ la raíz negativa se descarta debido a la aparición por parejas de las restantes raíces complejas conjugadas ). Ahora $f(-1).f(0)<0$ es suficiente para asegurar la existencia de exactamente $2$ raíces negativas de $f(x)$ .

Answer 4

El coeficiente $-3$ en el centro es lo suficientemente dominante como para permitir considerar las dos expresiones binomiales $x^5-3x$ y $-3x-1$ de los lados del polígono de Newton como aproximaciones separadas para las raíces grandes y pequeñas, con sus raíces reales en $\pm\sqrt[4]3$ y $-\frac13$ . Para obtener una conexión más precisa con el polinomio dado, considere el producto de los binomios $$ (x^4-3)(x+\tfrac13)=x^5+\tfrac13x^4-3x-1. $$ Esto se acerca al polinomio dado $x^5-3x-1$ para que al pasar de una a otra las raíces no cambien mucho. La distancia por pares entre las $3$ raíces reales y el $2$ raíces imaginarias $\pm i\sqrt[4]3$ es lo suficientemente grande como para que la naturaleza de estas raíces no cambie bajo la perturbación del polinomio dado. Para comprobar esta consideración más o menos heurística, calcule los valores del polinomio en los intervalos que rodean a $-\frac43, -\frac13,\frac43$ por ejemplo $[-\frac32,-1]$ , $[-\frac12,0]$ , $[1,\frac32]$ .

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Se obtiene un poco más de certeza y aplicabilidad general al calcular el radio de la raíz. Recordemos que para $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ un radio que encierra todas las raíces se obtiene como $$ R=1+\max_{k<n}|a_k|\text{ or } R=\max(1,|a_{n-1}|+...+|a_1|+|a_0|) $$ que da aquí $R=4$ en ambos casos. Como hay una gran diferencia de grados, escalar el polinomio podría ayudar a reducir el radio, establecer $x=2y$ entonces $$ f(2y)=32y^5-6y-1=32(y^5-\tfrac3{16}y-\tfrac1{32}) $$ lo que da lugar a los límites $R=2+\frac3{16}$ o $R=2$ para $x$ . Ahora que el rango de las raíces está suficientemente restringido, el cálculo de los valores en $x=-2,-1,0,1,2$ es ahora una estrategia bien fundamentada. Contar los cambios de signo según Descartes confirma entonces que hay exactamente dos raíces negativas.

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Se puede realizar una estimación más precisa utilizando derivadas.

$f'(x)=5x^4-3$ tiene 2 raíces reales en $\pm\sqrt[4]{\frac35}$ Por lo tanto $f(x)$ tiene extremos locales allí. Comprueba el valor de la función en el máximo local $-\sqrt[4]{\frac35}$ para simplificar la comprobación en el punto más cercano $x=-1$ : $$ f(-1)=-1+3-1=1>0. $$ Junto con $f(0)=-1$ y $f(-\infty)=-\infty$ se puede concluir para la existencia de $2$ raíces negativas.

No puede haber más raíces, ya que entonces por Rolle la derivada tendría que tener más de $2$ raíces reales.

Answer 5

Rápido y sin cálculos. Introduciendo algunos valores enteros pequeños en $x^5 -3x -1$ (siempre un buen punto de partida en este tipo de problemas) muestra que el signo cambia entre $-2$ y $-1$ y, a continuación, entre $-1$ y $0$ y luego otra vez antes de que los valores crezcan hasta $\infty$ . Eso garantiza al menos tres raíces reales.