Integral de infinito a infinito

Question

Mi profesor de física ha escrito hoy en la pizarra: $$ \int_{\infty}^{\infty} f(x) dx = 0 $$ para cada función $f$ . Y la prueba que dio fue: $$ \int_{\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{\infty}^{a} f(x) dx + \int_{a}^{\infty} f(x)dx = - \int_{a}^{\infty} f(x) dx + \int_{a}^{\infty}f(x)dx = 0$$

Sin embargo sigo sin estar convencido, para mí una integral de infinito a infinito no tiene sentido. Por lo tanto, lo que pregunto es: ¿tienen sentido las ecuaciones anteriores? Si no es así, ¿hay casos en los que sí tienen sentido? Estoy pensando en funciones que convergen a 0 en $+\infty$ .

EDIT: En realidad, la función f considerada era una densidad, es decir: $$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1 $$ y $f(x) \geq 0$ para todos $x$ .

Answer 1

Esto no es necesariamente cierto. Tomemos el siguiente ejemplo; $$\int_a^{2a}\frac1x\mathrm{d}x=[\ln{|x|}]_a^{2a}=\ln{(2)}$$ Si tomamos $a\to\infty$ entonces la integral se convierte en $$\int_\infty^\infty\frac1x\mathrm{d}x=\ln{(2)}$$ ya que la integral es constante para todo $a\in\mathbb{R}$ . Lo que supongo que su profesor quería decir es que $$\lim_{a\to\infty}\int_a^a f(x)\mathrm{d}x=0$$ lo cual es trivialmente cierto ya que el LHS es constantemente cero.

Answer 2

Una integral impropia con un punto final de $\infty$ significa un límite de integrales propias donde el punto final se aproxima $\infty$ . Por lo tanto, una definición razonable de $\int_{\infty}^\infty f(x)\; dx$ sería $$ \int_{\infty}^\infty f(x)\; dx = \lim_{a, b \to \infty} \int_a^b f(x)\; dx $$ Esto es $0$ si y sólo si $\int_a^\infty f(x)\; dx$ converge para algún $a$ .

EDIT: Si el límite doble es $0$ , hay $N$ tal que $\left|\int_a^b f(x)\; dx\right| < 1$ para todos $N < a < b$ . Para cualquier $\epsilon > 0$ hay $M > N$ tal que para $b, c > M$ , $$ \left|\int_b^c f(x)\; dx \right| = \left| \int_a^c f(x)\; dx - \int_a^b f(x)\; dx \right|< \epsilon$$
y esto implica que $\lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\; dx$ existe, es decir $\int_a^\infty f(x)\; dx$ converge.

Por el contrario, si $\int_a^\infty f(x)\; dx = L$ converge, entonces para cualquier $\epsilon > 0$ hay $N$ tal que $\left|\int_a^b f(x)\; dx - L\right| < \epsilon/2$ siempre que $b > N$ . Entonces, si $b > N$ y $c > N$ , $$ \left| \int_b^c f(x)\; dx\right| = \left|\int_a^c f(x)\; dx - \int_a^b f(x)\; dx \right| < \epsilon $$

Answer 3

Como se ha señalado en otras respuestas, esto no siempre es cierto porque el símbolo $\infty$ puede ocultar muchas cosas, incluso si trabajamos con los reales extendidos. El significado real de la $\infty$ es un proceso limitante cuando una determinada variable se hace arbitrariamente grande. Los límites superior e inferior en el $$\int_a^b f(x)\mathrm d x$$ sin embargo puede acercarse a $\infty$ a diferentes ritmos, y este es el punto clave. El argumento de tu profesor sólo funciona cuando $a$ y $b$ se acercan al infinito con la misma rapidez, o lo que es lo mismo, cuando son de igual orden en el infinito. En particular, siempre es válido si $a=b.$

¿Y qué pasa con la "prueba" de tu profesor? Bueno, la ambigüedad debería ser ahora obvia utiliza el mismo símbolo $\infty$ para las cosas que pueden comportarse de manera diferente. Creo que es seguro asumir que está pensando sólo en el caso en que las variables son de igual orden en el infinito. De lo contrario, su prueba se rompe, ya que $\infty-\infty$ puede ser cualquier cosa.

PS. Sin embargo, usted dice que una integral de $\infty$ a $\infty$ no tiene ningún significado para ti. Bueno, veo que estás pensando en la ordenación habitual de los reales aquí. Pero ten en cuenta que aquí no estamos tratando sólo con los reales, sino con los reales extendidos. Como se ha explicado anteriormente, la mejor manera de pensar en ello es pensar en los límites de la integral como una aproximación al infinito (a ritmos no necesariamente iguales). Entonces es fácil darle sentido. Otra forma puede ser pensar en la compactación de un punto del eje real.

Answer 4

No estoy de acuerdo con las respuestas aquí. Desde la perspectiva de Lebesgue, podemos pensar en la integral en cuestión como una integral sobre el conjunto de todos los reales $x$ satisfaciendo $\infty < x < \infty$ . Es una integral sobre el conjunto vacío, que siempre es 0.

Answer 5

Como mencionó Peter Foreman, hay algunas ocasiones en las que se obtiene una integral de esta forma, sin embargo, la integral exacta sí importa. En primer lugar, visualice la función de error: $$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt$$ fíjate en eso: $$\lim_{x\to 0}\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^0e^{-t^2}dt$$ Normalmente podemos visualizar una integral como área, pero en esta forma no tiene sentido ya que el rango sobre el que se encuentra el área $\to0$ . El caso más obvio cuando esta integral es cero, sin importar la función, sería cuando ambos límites son iguales ya que el rango de la integral es entonces cero. En general, todo se reduce a la notación y a asegurarse de que los límites están bien definidos.