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Grado del núcleo de un mapa de módulo$R^n\rightarrow R^n$ para un dominio euclidiano$R$

Deje $R$ ser un dominio Euclídeo con el grado de función $d$. Deje $A\in R^{n\times n}$ ser $n\times n$-matriz con entradas en $R$ tal que det$(A)=0$. Como un mapa del módulo $A:R^n\rightarrow R^n$, siempre hay un núcleo elemento $v\in R^n$ desde el detonante$(A)=0$.

Asumiendo $d(A_{ij})\leq m$ para todos los $i,j$, hay un explícito vinculado $k(m,n)$ tales que existe un núcleo elemento $v\in R^n$ satisfacción $d(v_i)\leq k(m,n)$?

Edit : $v$ se supone que ser distinto de cero.

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richard Puntos 1

Supongo que con el fin de proporcionar un explícito vinculado $k(m,n)$ necesitamos saber más acerca de $d$, debido a que puede crecer arbitraria rápido, que es que si cualquier estrictamente monótona mapa de $f:\Bbb N\setminus\{0\}\to \Bbb N\setminus\{0\}$ una función de $f(d)$ es también un grado de la función en $R$.

Por otro lado, recientemente me han demostrado un resultado similar para $(R,d)=(\Bbb Z,|\cdot|)$ (ver abajo). Tal vez se puede generalizar a otros casos de $(R,d)$.

La proposición. Deje $K$ e $N$ ser enteros positivos, $V=\{v_1,\dots, v_k\}\subset [0,K]^N$ ser linealmente dependiente de $\mathbb R$ sistema de vectores con el entero de las entradas. Existen enteros $f_1,\dots, f_k$ que no son todos cero, tales que $|f_i|\le (kK)^{k-1}$ por cada $i$ e $f_1v_1+\dots+f_kv_k=0$.

Prueba. Deje $W$ ser una máxima subconjunto linealmente independiente de un conjunto $V$. Desde el set $V$ es linealmente dependiente, $|W|\le k-1$. Para cada una de las $i\in [N]$vamos $e^i=(e^i_1,\dots,e^i_N)\in\mathbb R^N$ ser $i$-th estándar de orth, que es $e^i_i=1$ e $e^i_j=0$ por cada $j\ne i$. Vamos $B_0=\{e^1,\dots,e^n\}$ ser el estándar de la base de que el espacio lineal $\mathbb R^N$. Por [L, Cap. III, Teorema 2], existe una base $B$ del espacio de $\mathbb R^N$ tal que $W\subset B\subset W\cup B_0$. Deje $C=B_0\setminus (B\setminus W)$y $p_{C}:\mathbb R^N\to \langle C\rangle$ ser el ortogonal la proyección, que es $p_{C}(x)=\sum\{x_ie^i:x_i\in\mathbb R$, $e^i\in C\}$ para cada vector de $x=(x_1,\dots,x_N)\in \mathbb R^N$. Así $\ker p_{C}=\{x\in \mathbb R^N:p_{C}(x)=0\}=\langle B_0\setminus C\rangle= \langle B\setminus W\rangle$. We have $\ker p_{C}\cap \langle W\rangle=\langle B\setminus W\rangle\cap\langle W\rangle=0$, because otherwise the set $B$ es linealmente dependiente. Por lo tanto la restricción $p_{C}|\langle W\rangle$ del mapa $p_{C}$ en el conjunto de $\langle W\rangle$ es inyectiva.

Poner $K'=(kK)^{k-1}$. Definir un mapa de $f$ desde el subconjunto $D^k$ de los puntos del conjunto de $[0, K']^k$ con todos los coordenadas enteras a $\langle W\rangle\cap \mathbb Z^N\subset \mathbb R^N$ como sigue. Deje $d=(d_1,\dots,d_k)\in D^k$. Poner $f(d)=p_C(dv)$, donde $dv=d_1v_1+\dots d_kv_k$. Desde $d_i\in [0, K']$ e $v_i\in [0,K]^N$ por cada $i\in [k]$, cada una de las coordenadas de un vector $dv$ (y, por lo tanto, el vector $f(d)=p_C(dv)$ también) es en la mayoría de las $kK'K$. Desde $$|C|=|B_0\setminus (B\setminus W)|=|B_0|-|B\setminus W|=|B_0|-(|B|-|W|)=$$ $$N-(N-|W|)=|W|\le k-1,$$ $|f(Q)|\le (kK'K+1)^{k-1}$. Tenemos $|D^k|>|f(Q)|$, debido a $(1+(kK)^{k-1})^{\frac 1{k-1}}>(1+(kK)^k)^{\frac 1{k}}$, porque cuando $a>1$ es una constante y $x>0$ una función de $(1+a^x)^{\frac 1x}$disminuye. Por lo tanto, la función de $f$ no es inyectiva. Así, existen distintos elementos $d=(d_1,\dots,d_k)$ y $d'=(d'_1,\dots,d'_k)$ de $D^k$ tal que $p_C(dv)=f(d)=f(d')=p_C(d'v)$. Desde $dv$ e $dv'$ pertenecen a $\langle W\rangle$ y la restricción $p_{C}|\langle W\rangle$ es inyectiva, $dv=d'v$. Queda por colocar $f_i=d_i-d'_i$ por cada $i\in [k]$. $\square$

Referencias

[L] Serge Lange, Álgebra, Addison-Wesley, 1965 (traducción rusa, Moscú, Mir, 1968).

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