¿El producto vectorial cruzado sólo está definido para la 3D?

Question

Wikipedia presenta el producto vectorial para dos vectores $ \vec a$ y $ \vec b$ como $$ \vec a \times\vec b=(|| \vec a|||| \vec b|| \sin\Theta ) \vec n $$ Luego menciona que $ \vec n$ es el vector normal al plano hecho por $ \vec a$ y $ \vec b$ lo que implica que $ \vec a$ y $ \vec b$ son vectores 3D. Wikipedia menciona algo sobre un producto cruzado 7D, pero no voy a fingir que lo entiendo.

Mi idea, que no se ha confirmado con ninguna fuente, es que un producto cruzado puede pensarse en un vector que es ortogonal a todos los vectores que se cruzan. Si, y eso es un gran SI, esto es correcto sobre todas las dimensiones, sabemos que para un conjunto de $n-1$ $n$ -vectores dimensionales, existe un vector que es ortogonal a todos ellos. La magnitud tendría algo que ver con el área/volumen/hipervolumen/etc. hecha por los vectores que estamos cruzando.

¿Estoy en lo cierto al suponer que este aspecto multidimensional de los vectores cruzados existe o es esa última parte una completa basura?

Answer 1

Sí, tienes razón. Se puede generalizar el producto cruzado a $n$ dimensiones diciendo que es una operación que toma en $n-1$ vectores y produce un vector que es perpendicular a cada uno. Esto se puede definir fácilmente utilizando el álgebra exterior y el operador estrella de Hodge http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual el producto cruzado de $v_1,\ldots,v_{n-1}$ es entonces sólo $*(v_1 \wedge v_2 \cdots \wedge v_{n-1}$ ).

Entonces la magnitud del producto cruzado de n-1 vectores es el volumen del paralelogramo de dimensión superior que determinan. Especificando la magnitud y siendo ortogonal a cada uno de los vectores se reduce la posibilidad a dos opciones-- una orientación escoge una de ellas.

Answer 2

Lamentablemente, la respuesta a este problema no es muy conocida, ya que depende de lo que realmente se quiera como "producto cruzado".

1ª solución. Operación r-aria en cualquier dimensión con ciertos axiomas. Supongamos una operación r-aria en cierto espacio d-dimensional V. Entonces, existe una operación multilineal "producto cruzado" r-dimensional:

$$ (C_1\times C_2\times \ldots\times C_r): V^{dr}=\underbrace{V^d\times \cdots \times V^d}_{r}\longrightarrow V^d$$

como $$\forall i=1,2,...,r$$ tenemos que

$$ (C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)\cdot C_i=0$$

$$ (C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)\cdot (C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)=\det (C_i\cdot C_j)$$

Eckmann (1943) y Whitehead (1963) resolvieron este problema en el caso continuo sobre espacios euclidianos reales, mientras que Brown y Gray (1967) resolvieron el caso multilineal. Además, la solución que voy a dar es válida en cualquier campo con característica diferente de 2 y con $1\leq r\leq d$ . El teorema (debido a Eckmann, Whitehead y Brown-Gray) dice que el "producto cruzado generalizado" (incluyendo el caso 3d) existe cuando:

A) $d$ está en paz, $r = 1$ . Existe un producto cruzado en cada dimensión par con un solo factor. Esto se puede considerar una especie de "rotación de Wick" si se conoce este concepto en todas las dimensiones pares. Este producto cruzado con un solo factor es un poco no trivial pero fácil de entender.

B) $d$ es arbitraria, $r = d − 1$ . Existe un producto cruzado en dimensión arbitraria d y (d-1) factores. También se dice que existe un producto cruzado arbitrario de (d-1) factores en cualquier dimensión. Basta con tomar el determinante de esos (d-1) vectores con los versores $(e_1,...,e_r)$ ¡!

C) $d = 3, 7, r = 2$ . Un vector cruzado doble existe en dimensión 3 y 7. Por lo tanto, el producto cruzado "bilineal" sólo puede existir con dos factores en 3D y 7D. El producto cruzado 3D es bien conocido, el producto cruzado 7D se puede encontrar (tanto en versión de coordenadas como de coordenadas libres) en wikipedia.

D) $d = 8, r = 3$ . Existe un producto cruzado triple en ocho dimensiones. Existe un producto cruzado no trivial en 8D, es decir, se puede construir un producto cruzado no trivial con 3 vectores en 8 dimensiones. No he visto una expresión de coordenadas para esto, pero creo que alguien lo ha hecho (aunque podría escribir un post sobre ello en mi blog, en un futuro próximo).

Esto ocurre en la firma euclidiana, supongo que hay algunas variantes en las métricas pseudoeuclidianas (y quizás algunos subcasos no triviales; he oído hablar de un producto cruzado no trivial de 3 pliegues en 4D pero no encuentro una referencia). Además, puedes encontrar una conclusión similar en el libro Clifford algebras and Spinors de P. Lounesto. El álgebra geométrica es muy útil cuando se maneja con estas cosas de vectores ya que los vectores son sólo un grado particular de un polivector/cliffor/hoja...

2ª solución. El producto cruzado puede verse como el dual del producto exterior a través de $ia\times b=a\wedge b$ o $\star (a\wedge b)=a\times b$ . Por lo tanto, el producto cuña (producto exterior, un bivector) es mucho más fundamental ya que se puede definir en CUALQUIER dimensión del espaciotiempo. Por supuesto, también se pueden identificar los bivectores con las matrices antisimétricas, pero eso es sólo una realización del bivector. De hecho, el bivector define rotaciones en un plano dado y esto es mucho más útil que pensar en términos de un vector. Los bivectores son los generadores de rotaciones en espacios de N dimensiones (incluso si se consideran campos de multivectores o polivectores). Así, la segunda solución es considerar el producto exterior como la verdadera generalización (¡con dos factores!) del producto cruzado en cualquier dimensión espaciotemporal.

Tercera solución. Utilizar formas k (vectores k) y renunciar a la condición de 2., suponiendo que se pueda definir una métrica. Si sigues queriendo un VECTOR, o 1 hoja, entonces usar el operador estrella de Hodge: $$V=\star(V_1\wedge\cdots \wedge V_{N-1})$$ Esto produce una forma 1 (vector 1) a partir de una forma N-1, vector N-1. En efecto, si se tiene un vector k no factorizable en un espacio de N dimensiones, el operador estrella, ¡con un solo término!, produce una (N-k)-forma o (N-k)-vector en general, como se dice en las referencias de otros usuarios.

Answer 3

Bueno, depende de lo que entiendas por "producto vectorial cruzado". Hay una generalización a $n$ dimensiones que toma $n-1$ vectores como entrada y devuelve lo que se puede considerar como un vector ortogonal a todos ellos. Se generaliza a una operación que toma $k$ vectores como entrada donde $k \le n$ pero entonces la salida no es algo como un vector sino algo más complicado. Véase producto de cuña .

Hay una generalización más específica para $7$ dimensiones procedentes de la multiplicación en el octonions de la misma manera que el producto cruzado puede pensarse que proviene de la multiplicación en el cuaterniones .

Answer 4

El producto cruzado está muy relacionado con el concepto de cuaterniones. Las "identidades" del producto cruzado que operan sobre los vectores unitarios $\rm \mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}$ son esencialmente similares a las identidades de las unidades de cuaterniones (elementos de base) $i,j,k$ .

Observa que los cuaterniones tienen cuatro unidades: $1, i, j, k$ y el producto cruzado 3D funciona en espacios vectoriales de dimensión 4-1 = 3.

El producto cruzado de siete dimensiones es análogo a los octoniones, y tiene una definición similar que no deseo enumerar aquí.

Estas son las únicas dimensiones en las que existe un "producto cruzado" de este tipo. La relación entre la operación vectorial y la multiplicación de cuaterniones/octoniones es la razón subyacente. Los cuaterniones y los octoniones componen lo que se conoce como álgebra de división normada cerrada . Y las álgebras de división cerradas reales sólo pueden tener dimensiones de 1,2,4,8.

Como menciona @QiaochuYuan, la generalización a otras dimensiones da como resultado algo diferente a un vector -- tal operación existe y puede ser usada de manera similar, pero no se tiene la amabilidad de recuperar un vector al final.

Answer 5

Ver mi respuesta aquí para ver un ejemplo de generalización del producto cruzado a 4 dimensiones. Obsérvese que esta generalización funciona en $n$ -y siempre devuelve un vector ortogonal a todos los $n-1$ vectores que utiliza. Y, lo calculas casi exactamente igual que el producto cruzado normal, nada complicado. Para obtener el producto cruzado de $n-1$ vectores de dimensión $n$ simplemente se hace una matriz que tiene una fila superior con entradas $i_1, i_2, \ldots, i_n$ que generalizan la normalidad $i, j, k$ en 3 dimensiones. Entonces, su siguiente $n-1$ Las filas son las $n-1$ vectores de dimensión $n$ . Ahora, toma el determinante y obtienes tu $n$ -resultado de la dimensión.

Referencia: Aprendí sobre esto cuando tomé un cuarto semestre de cálculo en la universidad, donde usamos Cálculo Vectorial por Susan Jane Colley. Se introduce en los ejercicios de la sección 1.6. Uno de los ejercicios consiste en demostrar que el nuevo vector es ortogonal a los anteriores.