Demostrar que $\sum\limits_{cyc}\sqrt{a+11bc+6}\geq9\sqrt2.$

Question

Dejemos que $a$ , $b$ y $c$ sean números no negativos tales que $ab+ac+bc+abc=4.$ Pruébalo: $$\sqrt{a+11bc+6}+\sqrt{b+11ac+6}+\sqrt{c+11ab+6}\geq 9\sqrt2.$$

La igualdad se produce para $(a,b,c)=(1,1,1)$ y de nuevo para $(a,b,c)=(2,2,0)$ y para las permutaciones cíclicas de la última.

Intenté con Holder: $$\sum_{cyc}\sqrt{a+11bc+6}=\sqrt{\frac{\left(\sum\limits_{cyc}\sqrt{a+11bc+6}\right)^2\sum\limits_{cyc}(a+11bc+6)^2(3a+4)^3}{\sum\limits_{cyc}(a+11bc+6)^2(3a+4)^3}}\geq$$ $$\geq \sqrt{\frac{\left(\sum\limits_{cyc}(a+11bc+6)(3a+4)\right)^3}{\sum\limits_{cyc}(a+11bc+6)^2(3a+4)^3}}$$ y es suficiente para demostrar que $$\left(\sum\limits_{cyc}(a+11bc+6)(3a+4)\right)^3\geq162\sum\limits_{cyc}(a+11bc+6)^2(3a+4)^3,$$ lo cual es cierto para $(a,b,c)=(2,2,0)$ , $(a,b,c)=(1,1,1)$ , pero está mal para $(a,b,c)=\left(8,\frac{1}{2},0\right).$

Gracias a River Li por este contraejemplo.

Además, he probado una sustitución $a=\frac{2x}{y+z},$ $b=\frac{2y}{x+z}$ , $c=\frac{2z}{x+y}$ y SOS, pero parece muy complicado.

Además, he probado la siguiente estimación. Por Minkowcki: $$\sqrt{a+11bc+6}+\sqrt{b+11ac+6}\geq\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2(1+11c)+24}.$$

Ahora, para $c=\min\{a,b,c\}$ es suficiente para demostrar que $$\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2(1+11c)+24}+\sqrt{c+11ab+6}\geq9\sqrt2,$$ que no ayuda tanto.

Además, LM no ayuda.

Gracias.

Actualización

Además, está lo siguiente.

Tenemos que demostrarlo: $$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{2x}{y+z}+\frac{44yz}{(x+y)(x+z)}+6}\geq9\sqrt2$$ o $$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{x}{y+z}+\frac{22yz}{(x+y)(x+z)}+3}\geq9,$$ donde $x$ , $y$ y $z$ son no negativos tales que $xy+xz+yz\neq0.$

Ahora, por Holder $$\left(\sum_{cyc}\sqrt{\tfrac{x}{y+z}+\tfrac{22yz}{(x+y)(x+z)}+3}\right)^2\sum_{cyc}\left(\tfrac{x}{y+z}+\tfrac{22yz}{(x+y)(x+z)}+3\right)^2(kx^2+y^2+z^2+myz+nxy+nxz)^3\geq$$ $$\geq\left(\sum_{cyc}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{22yz}{(x+y)(x+z)}+3\right)(kx^2+y^2+z^2+myz+nxy+nxz)\right)^3,$$ donde $k$ , $m$ y $n$ son reales tales que la expresión $kx^2+y^2+z^2+myz+nxy+nxz$

es no negativo para todos los no negativos $x$ , $y$ y $z$ .

Por lo tanto, basta con elegir los valores de $k$ , $m$ y $n$ para la que se cumple la siguiente desigualdad. $$\left(\sum_{cyc}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{22yz}{(x+y)(x+z)}+3\right)(kx^2+y^2+z^2+myz+nxy+nxz)\right)^3\geq$$ $$\geq81\sum_{cyc}\left(\tfrac{x}{y+z}+\tfrac{22yz}{(x+y)(x+z)}+3\right)^2(kx^2+y^2+z^2+myz+nxy+nxz)^3$$ Del caso de igualdad podemos obtener que debería ser $$2k-5m+2n=8.$$ Para $k=1$ , $m=0$ y $n=3$ tenemos que demostrarlo:

$$\left(\sum_{cyc}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{22yz}{(x+y)(x+z)}+3\right)(x^2+y^2+z^2+3xy+3xz)\right)^3\geq$$ $$\geq81\sum_{cyc}\left(\tfrac{x}{y+z}+\tfrac{22yz}{(x+y)(x+z)}+3\right)^2(x^2+y^2+z^2+3xy+3xz)^3,$$ lo cual es cierto para $y=z$ y es cierto para $z=0$ pero no tengo una prueba para todas las variables no negativas.

Answer 1

Michael Rozenberg realmente dio una prueba. Hago un poco por la vía del búfalo para demostrar que \begin{align} &\left(\sum_{cyc}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{22yz}{(x+y)(x+z)}+3\right)(x^2+y^2+z^2+3xy+3xz)\right)^3\\ \geq\ & 81\sum_{cyc}\left(\tfrac{x}{y+z}+\tfrac{22yz}{(x+y)(x+z)}+3\right)^2(x^2+y^2+z^2+3xy+3xz)^3. \end{align}

Basta con demostrar que $f(x,y,z)\ge 0$ donde $f(x,y,z)$ es un polinomio (una expresión larga).

WLOG, suponga que $z = \min(x,y,z).$ Hay dos casos posibles:

1) Si $z \le y \le x$ , dejemos que $y=z+s, \ x = z+s+t; \ s,t \ge 0$ . Tenga en cuenta que $f(z+s+t, z+s, z)$ es un polinomio en $z, s, t$ con coeficientes no negativos. Es cierto.

2) Si $z \le x\le y$ , dejemos que $x = z+s, \ y = z+s+t; \ s,t \ge 0.$ Tenga en cuenta que $f(z+s, z+s+t, z)$ es un polinomio en $z, s, t$ con coeficientes no negativos. Es cierto. Hemos terminado.