Superficie de esferas no vista por ninguna otra.

Question

He encontrado esta pregunta recientemente mirando alrededor de la internet, al parecer fue en la OMI preselección de muchos años atrás. No he sido capaz de resolverlo, y estoy buscando sugerencias y/o soluciones completas. Al parecer se puede hacer muy elegante.

Considere N no la superposición de esferas de igual radio se coloca en el espacio 3D. Deje $S$ ser el conjunto de puntos sobre la superficie de estas esferas que no son visibles desde cualquier otra esfera. Demostrar que el área total de $S$ es igual a la superficie de una esfera.

Pensamientos hasta ahora: el problema es trivial en una dimensión, y es probable que su equivalente en dificultad en 2D y 3D (parece que todavía tiene en 2D, por lo tanto me imagino que funciona para cualquier número de dimensiones). También es obviamente cierto para 2 esferas, y se puede comprobar con un poco de esfuerzo para 3. He tenido muchas ideas, pero ninguna de ellas tiene todavía me llevó a donde yo pensaba que prometedor.

Answer 1

Como estoy viendo: Vamos a $c_i$ $(1\leq i\leq N)$ ser los centros de las esferas y $P$ ser el casco convexo de la $c_i$. A continuación, $P$ es un compacto convexo poliedro en ${\mathbb R}^3$, delimitada por los vértices, aristas y caras. Vamos $$Q:=P+B_r=\bigl\{x+y\bigm| x\in P, \>\|y\|\leq r\bigr\}$$ be the closed "$r$-neighborhood" of $P$. This $P$ is bounded by a spherical piece for each vertex of $P$, a cylindrical piece for each edge of $P$, and a plane piece for each face of $P$. The spherical pieces are exactly the parts of the given spheres that cannot be seen from some other of the given spheres. The total curvature of these parts is $4\pi$, by Gauss'-Bonnet's theorem. Therefore the total unseen area on the given spheres is $4\pi r^2$, o el área de una esfera única.

Answer 2

El conjunto S se compone de varias piezas correspondientes a las esferas.

Uso traducciones para mover todas las piezas para una esfera.

Vamos a probar que 1) la traducción de las piezas no se superponen 2) cualquier punto de la esfera (excepto algunas conjunto de la zona 0) está cubierto por alguna pieza.

En aras de la brevedad, voy a llamar a los puntos a y B, equivalente si se encuentran en diferentes ámbitos y la traducción que lleva a una esfera a la otra lleva de a a B.

1) Si se han traducido piezas tienen un punto en común, que significa que hay dos puntos equivalente en S. Pero esto no puede ser cierto (sólo sacar una foto): si a y B son equivalentes, la línea AB se cruza las dos esferas en los puntos P, Q. En cualquier posible arreglo de a,B,P,Q en una línea, ya sea a o B se ve a algún punto en la otra esfera. (la disposición no puede ser APQB, desde entonces a y B no son equivalentes)

2) dibujar todas las posibles líneas que unen los centros de las esferas y para cada línea de eliminar el círculo grande en nuestra esfera perpendicular a la línea. Vamos a probar que para cualquier punto no es un punto equivalente en el S. Deje que el punto X y el centro de la esfera se O. Mirar en la dirección de la XO. Lo que ves es un montón de círculos. Algunos de ellos están cerca de nosotros y algunos son remotas. Tomar el punto más cercano. Es equivalente a X y pertenece a S. (Hemos eliminado los círculos para estar seguro de que sólo hay un punto más cercano: si hay dos puntos más cercanos, a continuación, que se encuentran en un gran círculo perpendicular a la línea de centro de dos esferas)

Answer 3

Las siguientes son algunas consideraciones preliminares que podrían ayudar a enfocar mejor el problema.

a) dos esferas en la vista directa de cada uno de los otros, de las visibles y las porciones son las que figuran en el cilindro de conexión de los dos.
b) la parte visible y La luz a las partes oscuras están separados por un gran círculo, en el plano normal a la línea que une los centros.
c) El problema no es afectada por el valor de la común de la radio de las esferas: en el límite se reduce a cero.
d) Para cualquier número de esferas alineadas, la hipótesis es verdadera.
e) Por tres esferas ( un triángulo), la parte oscura de cada uno corresponde a la (diedro) el ángulo formado brtween de las normales a los lados por lo tanto igual a $\pi $ menos el ángulo interno: la tesis es verdadera.

f) Cualquier ámbito en el interior del triángulo es totalmente visible: la tesis es verdadera para cualquier triángulo, que contiene cualquier número de internos esferas.
g) y lo Mismo para cualquier polígono convexo, la oscuridad ángulo diedro es $\pi$ menos de ángulo interno, y el total es $(n-(n-2)) \pi = 2\pi$ .
h) la aprobación de un poliedro, el área oscura será la incluida en el ángulo sólido individualizada por los planos normales a los bordes.
i) Las esferas dentro de un poliedro convexo son, de nuevo, totalmente visible.
Considerar, de hecho, una esfera $\to$ punto del interior del poliedro. Por definición de la convexidad, cualquier plano a través del punto de salir al menos uno de los vértices del polígono en cada lado del avión. Por lo tanto, cualquier punto en el interior de la esfera de ver al menos un vértice.
j) La misma consideración anterior es válida para cualquier convexo polytope.

k) Dada una convexa polytope, manteniendo un vértice (S) firma y moviendo las otras esferas (A) a lo largo de la prolongación de los bordes (B) no se altere el importe total de la zona oscura, debido a la consideración de una):
es decir, $OA$ e $OB$ son equivalentes.
La elección del vértice O es arbitrario, por lo que la proyección puede ser repetido de cualquier vértice en a o B.
l) En adición a lo anterior, cualquier ángulo-la preservación de transformación no alterar la situación.