Recogiendo bolas de las urnas.

Question

Tenemos 2 urnas, 5 bolas rojas y 5 bolas verdes. Vamos a dividir el 10 pelotas en el 2 urnas en cualquier manera que nos gusta (a condición de que cada urna tiene exactamente 5 bolas) y, a continuación, se elige una urna al azar, de los cuales vamos a recoger una pelota. Si la bola es roja, se le pedirá que dibuje un segundo la una de la otra urna. Si la primera bola es verde, vamos a mantenerlo fuera de la urna y dibujar una segunda de la misma urna. Vamos a ganar 100.000 rupias si tenemos que elegir 2 bolas del mismo color. ¿Cuál es la manera óptima para dividir las bolas en las urnas? (obviamente, las urnas son idénticos, no son transparentes y no podemos engañar! Además, una vez que dividir las pelotas, las urnas son llevados y traídos de vuelta a nosotros, así que no sabemos cual es cual.)

Obviamente no podemos poner 5 rojo en una urna y 5 verde en el otro, porque si nos recoger la urna con las bolas rojas, nunca vamos a elegir 2 del mismo color. Por lo tanto los frascos debe contener tanto los colores pero no puedo averiguar la combinación óptima. Me dijeron que es algo acerca de un teorema de Bayes, pero no estoy familiarizado con esto (aunque lo he buscado en la wiki).

Alguna ayuda? Muchas gracias!

Answer 1

Habrá una urna en la que el número de $r$ de las bolas de color rojo va a satisfacer $r\in\left\{ 0,1,2\right\} $.

Para ser encontrado es una respuesta a la pregunta: "¿por cuál de las opciones de $r=0,1,2$ le $P(S)$ ser máxima?"

Deje $E$ denotar el caso de que este urna será elegido al azar y deje $S$ denotar el caso de que dos las bolas son los elegidos que tienen el mismo color.

Si $r=0$ entonces $S=E$ por lo tanto $P\left(S\right)=P\left(E\right)=\frac{1}{2}$.

Si $r\in\left\{ 1,2\right\} $ entonces $$P\left(S\right)=P\left(E\right)P\left(S\mid E\right)+P\left(E^{\complement}\right)P\left(S\mid E^{\complement}\right)=\frac{1}{2}\left[P\left(S\mid E\right)+P\left(S\mid E^{\complement}\right)\right]$$

Aquí $$P\left(S\mid E\right)=\frac{r}{5}\frac{5-r}{5}+\frac{5-r}{5}\frac{4-r}{4}$$ y $$P\left(S\mid E^{\complement}\right)=\frac{5-r}{5}\frac{r}{5}+\frac{r}{5}\frac{r-1}{4}$$ (¿por qué?).

Ahora sustituye $r=1,2$ y sacar conclusiones.

Answer 2

Deje $a$ el número de bolas rojas en la primera urna. Luego tenemos a $5-a$ bolas verdes en la primera urna y $a$ bolas verdes en la segunda urna (significa que $5-a$ bolas rojas en la segunda urna). Entonces, estamos tratando de maximizar la probabilidad de obtener los $2$ bolas del mismo color. Aquí, vamos a $R$ ser el caso de que se escoja $2$ bolas rojas y $G$ ser el caso de que se escoja $2$ bolas verdes. A continuación, $$P(R) = \underbrace{\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{5}\cdot \frac{5-a}{5}}_{\text{if we pick first urn first}}+\underbrace{\frac{1}{2}\cdot \frac{5-a}{5}\cdot \frac{a}{5}}_{\text{if we pick second urn first}} = \frac{(5-a)a}{25}$$

y

$$P(G) = \underbrace{\frac{1}{2}\cdot\frac{5-a}{5}\cdot \frac{4-a}{4}}_{\text{if we pick first urn first}}+\underbrace{\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{5}\cdot \frac{a-1}{4}}_{\text{if we pick second urn first}} = \frac{a^2-5a+10}{20}$$

A continuación, $P(R \cup G) = P(R)+P(G)$ es la probabilidad de que estamos tratando de maximizar. $$P(R)+P(G) = \frac{5a-a^2}{25}+\frac{a^2-5a+10}{20} = \frac{a^2-5a+50}{100}$$

Aquí, necesitamos encontrar el valor máximo de la función $f(a) = a^2-5a+50$ en el intervalo de $a \in [0,5]$ e $a \in \mathbb{N}$. Aquí, usted puede intentar para $a = 0,1,2$ o usted puede dibujar la gráfica de la parábola en $[0,5]$ y ver que se obtiene su valor máximo en $a = 0$ e $a = 5$ con $50\%$.

Answer 3

Si coloca las 5 bolas rojas en una urna y los 5 verdes en la otra, ganará si se le presenta la urna con las bolas verdes primero y suelta si se le presenta la urna con las bolas rojas primero. Así que tienes una probabilidad de ganar $50\%$ . Uno puede hacer un cálculo similar para las otras dos opciones, es decir, 4 y 1 o 3 y 2 de cada color en cada urna. ¿Puedes calcular la probabilidad de ganar para estas otras distribuciones de las bolas?