No es una simple estrategia general para muchas preguntas de este tipo, que es simplemente el intento de construir un contraejemplo por inducción transfinita. Primero vamos a pensar acerca de lo que significa para el gráfico de $G$ de una función de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a ser desconectado. Significa que hay abierto conjuntos de $U,V\subset\mathbb{R}^2$ tal que $U\cap G$ e $V\cap G$ son tanto vacío, y juntos forman una partición de $G$ (vamos a decir $(U,V)$ separa $G$ en este caso). Así, para hacer $G$ conectado, solo tenemos a uno-por-uno descartar cada par $(U,V)$ a partir de la separación de él.
Así, entonces, aquí es el de la construcción. Fijar una enumeración $(U_\alpha,V_\alpha)_{\alpha<\mathfrak{c}}$ de todos los pares de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^2$. Por una recursión transfinita de longitud $\mathfrak{c}$ definimos los valores de una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. En el $\alpha$th paso, se añade un nuevo valor de $f$ para prevenir $(U_\alpha,V_\alpha)$ desde la separación de la gráfica de $f$, si es necesario. ¿Cómo hacemos eso? Bien, si es posible, se define un nuevo valor de $f$ tales que el punto correspondiente en el gráfico de $G$ será en el $U_\alpha\cap V_\alpha$ o no se en $U_\alpha\cup V_\alpha$, lo $U_\alpha\cap G$ e $V_\alpha\cap G$ no partición de $G$.
Si esto no es posible, entonces, $U_\alpha$ e $V_\alpha$ debe partición $A\times\mathbb{R}$ donde $A\subseteq\mathbb{R}$ es el conjunto de puntos donde todavía no hemos definido $f$. Desde $\mathbb{R}$ está conectado, esto significa que podemos partición $A$ en los conjuntos de $B$ e $C$ (ambos abiertos en $A$) tal que $U_\alpha\cap (A\times\mathbb{R})=B\times\mathbb{R}$ e $V_\alpha\cap (A\times\mathbb{R})=C\times\mathbb{R}$. Ahora ya hemos definido a menos de $\mathfrak{c}$ valores de $f$ hasta el momento en esta construcción, $|\mathbb{R}\setminus A|<\mathfrak{c}$ y, en particular, $A$ es denso en $\mathbb{R}$. Si $B$ estaban vacías, a continuación, $U_\alpha$ tendría vacío interior y por lo tanto estaría vacía, y por lo $(U_\alpha,V_\alpha)$ nunca se puede separar la gráfica de $f$. Una conclusión similar se aplica en el caso $C$ está vacía, así que vamos a asumir que tanto $B$ e $C$ son no vacíos. De ello se desprende que $\overline{B}$ e $\overline{C}$ no puede ser discontinuo (de lo contrario sería un trivial partición de $\mathbb{R}$ en subconjuntos cerrados), así que hay un punto de $x\in\mathbb{R}\setminus A$ que es un punto de acumulación de ambos $B$ e $C$. Desde $x\not\in A$, ya hemos definido $f(x)$. Nota ahora que $(x,f(x))\not\in U_\alpha$, desde el $U_\alpha$ contendría un abrir pelota alrededor de $(x,f(x))$ , y por lo tanto se cruzan $C\times\mathbb{R}$. Del mismo modo, $(x,f(x))\not\in V_\alpha$. Por lo tanto $U_\alpha$ e $V_\alpha$ ya no contienen la totalidad de la gráfica de $f$, y así no tenemos que hacer nada para evitar que se separen de ella.
Al final de esta construcción que tendrá una función parcial $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que, por construcción, su gráfica no se separa por cualquier par de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^2$, y la misma está garantizada para mantener para cualquier extensión de nuestra función. Se extiende a un total de función, obtenemos un total de función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ cuya gráfica está conectado. Pero claro que podemos organizar en esta construcción para $f$ a estar en ninguna parte continua; por ejemplo, podríamos empezar por definir $f$ en todos los racionales, de modo que la imagen de cada intervalo abierto es denso en $\mathbb{R}$. De hecho, la construcción muestra que cualquier función parcial $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido en un conjunto de cardinalidad menor que $\mathfrak{c}$ puede ser extendido a un total de la función cuya gráfica está conectado. (O incluso más fuerte, usted podría comenzar con parciales de la función cuyo dominio omite $\mathfrak{c}$ puntos de cada intervalo, ya que es todo lo que necesita para garantizar que el conjunto de $A$ es denso en cada paso.)
