Grado del mapa de Gauss igual a la mitad de la característica de Euler y Poincaré-Hopf

Question

La de Poincaré-Hopf teorema establece que para un buen compacto $m$-colector $M$ sin límite y un campo de vectores $X\in\operatorname{Vect}(M)$ de % de $M$ con aislados los ceros tenemos la igualdad $$\sum_{\substack{p\in M\\X(p)=0}}\iota(p,X)=\chi(M)$$ donde $\iota(p,X)$ denota el índice de $X$ a $p$ e $\chi(M)$ denota la característica de Euler de $M$.

Deje $m$ ser incluso y $M\subset\mathbb{R}^{m+1}$ ser $m$-dimensiones suave compacto submanifold sin límite y denotan por $\nu:M\to S^m$ su mapa de Gauss. ¿Cómo puedo deducir, a partir de la de Poincaré-Hopf teorema de que el grado de Brouwer $\nu$ es igual a la mitad de la característica de Euler de $M$ es decir $$\deg(\nu)=\frac{1}{2}\chi(M)?$$

Después de muchos repetidos (sin éxito) intenta tenía la esperanza de sombrero alguien podría arrojar algo de luz sobre esto...

Answer 1

Una manera de hacerlo es comenzar con su colector $M \subset \mathbb R^{m+1}$ y considerar la posibilidad de una altura de función $f : \mathbb R^{m+1} \to \mathbb R$ (proyección ortogonal sobre un vector) restringido a $M$. Así que hay algunos fijos vector $v \in S^m$ tal que $f(x)=\langle x,v\rangle$ a al $x \in \mathbb R^{m+1}$.

De forma genérica, esta es una función de Morse por lo que su gradiente (la proyección ortogonal de $v$ a $TM$) es un campo vectorial que es transversal a la $0$-sección de $TM$. Así de Poincaré-Hopf dice cómo usted puede calcular la característica de Euler de este.

Ahora, ¿cómo es que se relaciona con el mapa de Gauss? Si se va a calcular el grado de Gauss mapa de $\nu : M \to S^m$ al calcular su intersección número de con $v \in S^m$ tendría una muy parecidas suma para calcular! Pero se dan cuenta de que la proyección ortogonal de $v$ a $TM$ puede ser cero en ambos $\nu^{-1}(v)$ e $\nu^{-1}(-v)$. Cuando los detalles en última instancia, esto explica por qué existe la $1/2$ y por qué sólo funciona en las dimensiones.

Espero que te da la idea sin dar demasiado lejos.

Answer 2

Aquí es una característica de las clases de manera de hacerlo.

• Uno de ellos utiliza la forma natural de la clase de Euler para la orientada al vector de paquetes. Esto significa que la clase de Euler de la inducida por el paquete con la inducción de orientación en virtud de una asignación es el tire hacia atrás de la clase de Euler, f*(E)

La clase de Euler de la unidad de la esfera es de 1/(2pi)tiempo de su elemento de volumen. El tire hacia atrás de la clase de Euler de la esfera bajo el mapa de Gauss es la clase de Euler de la inducida por el paquete - que en este caso es la tangente del paquete a la superficie.

Por otro lado el grado de Gauss mapa es la integral de la retirada de 1(4pi)elemento de volumen de la esfera ya que el total de volumen de la esfera es 4pi.