¿Cuáles son exactamente las secciones en las teorías de calibre?

Question

En un intento de comprender cómo, precisamente, el haz de fibras de la teoría de los mapas para los modelos de la física, me encontré con esta cita:

Podemos pensar en los elementos de la principal bundle como generalizada de los cuadros para el original haz de fibras. Esto significa que se corresponden con diferentes maneras en que se puede convertir intrínseca de la dinámica descrita de manera abstracta por una sección del haz de fibras a algo concreto que queremos observar.

Estos generalizada marcos son a menudo llamados 'medidores. La estructura del grupo de los principales paquete es llamado el "indicador de grupo" y la automorphism de los principales paquete de revisiones de la base se llama un " medidor de transformación."

En el caso de un vector paquete, esto significa que, por la elección de un indicador, o un ortonormales marco de la fibra, se obtiene un conjunto de números: las coordenadas de la sección con respecto a la estructura.

Así que por favor dime si lo entiendo correctamente: tenemos dos lógicamente distinto de fibra de paquetes aquí: el director del paquete y los asociados vector paquete. El asociado paquete es un "asunto de campo', cuya secciones representan las cantidades observables, por ejemplo, la fase, y el director paquete es un paquete de 'generalizada marcos', cuya secciones representan las bases que utilizamos para describir las secciones de los asociados paquete numéricamente?

Es esto correcto?

Lo siento si esto es vaga. Estoy tratando de conseguir una intuitiva "manija" de cómo la técnica matemática de los haces de fibras se asigna a lo que sabemos de la física.

Answer 1

1. El Principio de haz de fibras puede ser pensado como una expansión del espacio-tiempo: Dado un grupo gauge $G$ y un director $G$ bundle $\pi: P \to M$ más de espacio-tiempo $M$, nos localmente obtener $$\pi^{-1}(U) \cong U \times G, \ U \subset M$$ since a PFB is just a fiber bundle with fiber $G$. In the case of $U(1)$, uno puede pensar en la PFB como una manera de mantener un seguimiento de la fase de una determinada partícula tiene en un punto dado en el espacio-tiempo, más generalmente, uno puede pensar en ello como una forma explícita de codificar las propiedades intrínsecas de una partícula (hay otros ejemplos, pero vamos a omitir por el momento).
2. Una representación $\rho: G \to V$ sobre un espacio vectorial $V$ debe ser considerado como la "transformación de la regla" yo.e cómo un campo transforma en virtud de un medidor de transformación. Los ejemplos incluyen rotaciones en isopin espacio (aunque no son una "verdadera" teoría de gauge) así como el conocido $U(1)$ medidor de transformación, consulte también esta respuesta de la mina.
3. Dada una representación $\rho$ como en el anterior, uno puede formar el vector asociado bundle $$E = P \times_{\rho} V,$$ que en el principio paquete de formalismo, en lugar de utilizar el espacio vectorial $V$. Más precisamente, tomar cualquier (clásica) de campo, por ejemplo, el campo de dirac, que es una función suave $$ \psi:\mathbb{R}^{1,3} \to \mathbb{C}^4$$ la satisfacción de la Ecuación de Dirac. En nuestro nuevo formalismo, los campos serían secciones suaves $$\Psi: M \to E.$$ Asunto campos, a continuación, ser considerado como esas secciones $\Psi$ y no del paquete.

4. La elección de un indicador más comúnmente ser pensado como la elección de una sección local de $P$. La localidad es de destacar como, en general, no es posible elegir global de las secciones. Por medio de una sección local, "todo" puede ser llevada a $U \subset M$ , que luego da invariante gauge (y, en general, "curva") ecuaciones diferenciales, por ejemplo la Ecuación de Dirac en la curva el espacio-tiempo.(Y que, sin embargo, necesitan de la noción de una forma de conexión, que debemos ignorar por el momento). Este sería concretamente se realiza de la siguiente manera: Dado un "asunto"del campo de

   $$\Psi:M \to E$$ y un (local) de la sección $$s: U \to P$$ uno puede (localmente) escribir $$\Psi(x) = [s(x), \psi'(x)]$$ (por la definición de $E$). Ahora, la sección de $s$ que hace es definir una familia de isomorphisms $([s(x)])_{x \in U}$ que, por un determinado $x_0 \in U$, está dada por $$\quad [s(x_0)]:V \to E_{x_0}, \quad v \mapsto [s(x_0),v]$$ donde I denota la fibra de $E$ sobre $x_0$ por $E_{x_0}$. El uso de esta familia de isomorphisms, obtenemos una función de $$\psi': U \to V, \ x \mapsto \psi'(x)$$ que luego pueden ser utilizados para los cálculos.