Los puntos críticos de la función$f(x):=\frac{<Ax,x>}{|x|^2}$ son vectores propios de$A$

Question

Estoy atascado en el siguiente problema:

"Mostrar que los puntos críticos$\bar{x}$ de la función$f:\mathbb{R}^n-\{0\}\to\mathbb{R}, f(x):=\frac{<Ax,x>}{|x|^2}$ son vectores propios de la matriz simétrica$A$ de valores propios$A\bar{x}/|\bar{x}|^2$."

Al estar un poco oxidado en el álgebra lineal, no sé cómo proceder; así que me gustaría tener una pista sobre cómo empezar.

Answer 1

Croquis de la Prueba: en Primer lugar, usted realmente debe considerar la restricción de $f$ a la unidad de la esfera. Es decir, $$ f:\{x \in \Bbb R^n : \|x\| = 1\}, \qquad f(x) = \langle x,Ax \rangle $$ (Supongo que podemos hablar de la inducción de la función en $\Bbb {RP}^{n-1}$, aunque). Segundo, te estás perdiendo algo de información aquí: presumiblemente, $A$ está destinado a ser una matriz simétrica (marque el enunciado del problema). Si ese es el caso, entonces el teorema espectral permite escribir $A = U\Lambda U^T$ donde $\Lambda$ es una matriz diagonal con los valores propios $\lambda_i$ en la diagonal, y $U$ es algunos ortogonal de la matriz. Con la sustitución (cambio de coordenadas) $y = Ux$, podemos pensar de esta función como $$ f:\{y \in \Bbb R^n : \|x\| = 1\}, \qquad f(y) = \langle y, \Lambda y \rangle = \lambda_1 y_1^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2 $$ Un enfoque típico de aquí es el uso de multiplicadores de Lagrange.

Answer 2

Si$\bar x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ es un punto crítico de$f(x)=\frac{\langle Ax,x\rangle}{\lvert x\rvert^2}$, entonces tenemos, para cada$y\in\mathbb{R}^n$, \begin{align*} 0 & =\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} \frac{\langle A(\bar x +ty),\bar x + ty\rangle}{\lvert \bar x + ty\rvert^2} \\ & = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} \frac{\langle A\bar x,\bar x\rangle + 2 t\langle A\bar x, y\rangle + t^2 \langle Ay,y\rangle}{\lvert \bar x \rvert^2 + 2t \langle \bar x,y\rangle + t^2 \lvert y \rvert^2}\\ & = \frac{2\langle A\bar x, y\rangle \lvert \bar x\rvert^2 - 2\langle \bar x,y\rangle\langle A\bar x,\bar x\rangle}{\lvert \bar x \rvert^4}. \end {align *} Por lo tanto, tenemos $$ \ langle A \ bar x , y \ rangle = \ frac {\ langle A \ bar x, \ bar x \ rangle} {\ lvert \ bar x \ rvert ^ 2} \ langle \ bar x, y \ rangle $$ para todos$y\in\mathbb{R}^n$ , lo que implica que $$ A \ bar x = \ frac {\ langle A \ bar x, \ bar x \ rangle} {\ lvert \ bar x \ rvert ^ 2} \ bar x. $$