Mostrar que un PDE dado es una solución al movimiento armónico a través de la transformación

Question

OK, he aquí un problema que debería, por todas las cuentas, ser bastante simple, pero quiero asegurarme de que me estoy acercando esto correctamente.

Dado: $$\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$$

utilizar el cambio de variables $\alpha = x+ct$, $\beta = x-ct$ para transformar la ecuación anterior en $$\frac{\partial ^2u}{\partial \alpha \partial \beta}=0$$

Este debe ser lo suficientemente sencillo. Así, utilizando la regla de la cadena: $$\frac{\partial u}{\partial t}= \frac{\partial u}{\partial \alpha}\frac{\partial \alpha}{\partial t}+ \frac{\partial u}{\partial \beta}\frac{\partial \beta}{\partial t} \text{and } \frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial \alpha}\frac{\partial \alpha}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial \beta}\frac{\partial \beta}{\partial x}$$

tomamos las derivadas parciales con respecto a t y x, en el alfa y beta de las expresiones:

$$\frac{\partial \alpha}{\partial t}=c, \frac{\partial \alpha}{\partial x} = 1,\frac{\partial \beta}{\partial t}=-c,\frac{\partial \beta}{\partial x}=1$$

Conecte estas de nuevo en las anteriores ecuaciones en derivadas parciales: $$\frac{\partial u}{\partial t}=c \frac{\partial u}{\partial \alpha}-c \frac{\partial u}{\partial \beta} \text{and } \frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial \alpha}+ \frac{\partial u}{\partial \beta}$$

tomando otro derivado con respecto a la beta: $$\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial \beta}=c \frac{\partial^2 u}{\partial \alpha \partial \beta}-c \frac{\partial^2 u}{\partial \beta^2} \text{and } \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial \beta}= \frac{\partial^2 u}{\partial \alpha \partial \beta}+ \frac{\partial^2 u}{\partial \beta^2}$$

Vi que hay dos términos que se $\frac{\partial^2 u}{\partial \alpha \partial \beta}$ y reorganizar un poco las cosas, y tomando nota de que son iguales:

$$c \frac{\partial^2 u}{\partial \alpha \partial \beta}=c \frac{\partial^2 u}{\partial \beta^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial \beta} \text{and } \frac{\partial^2 u}{\partial \alpha \partial \beta}=\frac{\partial^2 u}{\partial \beta^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial \beta}$$ El problema que estoy teniendo es que me siento he metido hasta una sustitución de algún lugar. Porque me terminan con $$-c\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial \beta}=\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial \beta}$$ y las condiciones no van a cero. O hay algún estúpidamente simple paso que me perdí. Supongo que lo que estoy preguntando es si estoy en lo cierto hasta el momento.

Answer 1

Prefiero tomar$α=x+ct, β=x−ct$ y resolver$x=\dfrac12(\alpha+\beta),t=\dfrac1{2c}(\alpha-\beta)$ por lo tanto $$\frac{\partial x}{\partial\alpha}=\frac12,\frac{\partial x}{\partial \beta}=\frac12,\frac{\partial t}{\partial \alpha}=\frac1{2c},\frac{\partial t}{\partial\beta}=-\frac1{2c}$$ hence we have: $$\frac{\partial u}{\partial \alpha}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\alpha}+\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial\alpha}=\frac1{2c}\left(c\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t}\right)\\\frac{\partial^2u}{\partial\alpha\partial\beta}=\frac{\partial^2u}{\partial\beta\partial\alpha}=\frac1{2c}\left(c\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial\beta}+\frac{\partial^2u}{\partial t^2}\frac{\partial t}{\partial\beta}\right)=\frac1{4c^2}\left(c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}\right)$$ Manipulating our equation a little we find: $$\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}\\c^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=0$$ Hence $% #% PS