En mis conferencias, he leído que $A_5$ $($ el grupo alterno de ciclos de longitud par en $S_5$$ ) $, has a subgroup of order $ 6 $, and the example is: the group generated by $ \N - Ángulo (12) (34), (123)\N - Ángulo$.
Ni siquiera entiendo qué grupo estamos generando. ¿No era un grupo cíclico generado sólo por un elemento? ¿Por qué este grupo sería de orden $6$ ?
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Twisted_S3_in_A5
Lea el enlace anterior, hay un subgrupo de $A_5$ que es bastante similar a $S_3$
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Hay dos elementos ahí. Uno es $(1\ 2)(3\ 4)$ y el otro es $(1\ 2\ 3)$ . No generan un subgrupo de orden $6$ .
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"Ciclos de longitud uniforme" no es el término correcto. $A_5$ es el grupo de permutaciones pares que son aquellas permutaciones que son la composición de un número par de transposiciones. Los "ciclos", por su parte" son un tipo particular de permutación, y cada ciclo de longitud par es un impar permutación.
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Como señaló el Señor Tiburón el Desconocido, ese grupo no es de orden seis. Prueba el grupo generado por $(12)(45)$ y $(123)$ en su lugar. La idea es que $(12)$ y $(123)$ generar una copia de $S_3$ . Cuando usamos $(12)(45)$ en lugar de $(12)$ obtenemos un grupo isomorfo. Que $(45)$ no cambia el tipo de isomorfismo del grupo porque conmuta con $(123)$ . Pero, tiene el efecto de convertir $(12)$ (así como las otras permutaciones impar de $S_3$ ) en permutaciones pares en $S_5$ .
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Supongo que un punto es que $A_5$ no tiene ningún subgrupo cíclico de orden seis, por lo que hay que buscar un subgrupo isomorfo a $S_3$ en su lugar.
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Puede encontrar una copia de $S_{n}$ en $A_{n+2}$ como sigue: tome un elemento de $S_n$ . Si ya es una permutación par, fija los dos puntos extra. Si es una permutación impar, intercambia los dos puntos extra. Así se obtiene una permutación par, y por tanto un elemento de $A_{n+2}$ . Hay dos órbitas, y lo que ocurre con los dos puntos finales sólo hace que se tenga en cuenta si la permutación de la primera $n$ es par o impar - el isomorfismo es claro.