¿Cómo calcular muchos dígitos de$\sqrt{2}$ de forma manual y rápida?

Question

Después de haber leído las respuestas para calcular$\pi$ manualmente , me di cuenta de que los dos métodos rápidos (Ramanujan y Gauss – Legendre) utilizaban$\sqrt{2}$. Entonces, me pregunté cómo calcular$\sqrt{2}$ manualmente de manera precisa (es decir, cómo aproximar su valor fácilmente).

Answer 1

Una forma muy fácil de aproximar raíces cuadradas sorprendentemente precisa en realidad fue desarrollado por los Babilonios.

Primero se hizo una conjetura en cuanto a la raíz cuadrada de un número $N$ - deja que esto supongo que se denota por $r_1$. Tomando nota de que $$ r_1\cdot\left(\frac{N}{r_1}\right)=N, $$ llegaron a la conclusión de que la raíz cuadrada debe estar en algún lugar entre el $r_1$ e $N/r_1$. Por lo tanto, su próxima supongo que para la raíz cuadrada, $r_2$, fue el promedio de estos dos números: $$ r_2 = \frac{1}{2}\left(r_1+\frac{N}{r_1}\right). $$ Continuando de esta manera, en general, una vez que hemos alcanzado el $n$th aproximación a la raíz cuadrada de $N$, nos encontramos con la $(n+1)$st utilizando $$ r_{n+1}=\frac{1}{2}\left(r_n+\frac{N}{r_n}\right). $$ Todo lo que tienes que hacer es medianamente decente, supongo que de la raíz cuadrada de un número y, a continuación, aplicar este método en dos o tres veces y usted debe tener una muy buena aproximación.

Para $\sqrt{2}$, simplemente usando una conjetura de $1$ y la aplicación de este método en tres ocasiones (el álgebra involucrados es muy simple) se obtiene una aproximación de $$ \frac{577}{408}\approx \color{red}{1.41421}\color{blue}{568627}, $$ mientras que $$ \sqrt{2}\approx \color{red}{1.41421}\color{verde}{356237}. $$ Esa es una buena aproximación mediante un sencillo y rápido método manual.

Answer 2

puede usar la fórmula$$\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\frac{a_n^2+2b_n^2}{2a_nb_n}$ $ si tomamos un valor inicial de$\sqrt{2}$ como$\frac{3}{2}$

ahora el nuevo valor se convertirá en$$\frac{a}{b}=\frac{3^2+2*2^2}{2*2*3}=\frac{17}{12}$ $

el nuevo valor de$a=17$ y$b=12$

y luego continuar

Answer 3

Creo accidente del post del método es el mejor, pero si no quieres hacer una gran cantidad de divisiones largas, entonces aquí es un método alternativo para los perezosos.

Suponga que desea calcular $\sqrt{2}$ a $k$ decimales. Que es, se quiere encontrar $x$ en la:

$$x \cdot 10^{-k} \approx \sqrt{2}$$ $$x^2 \approx 2 \cdot 10^{2k}$$

Esto le permite encontrar $x$ utilizando un binario de búsqueda: haciendo aproximadamente $\log(k)$ multiplicaciones de un $k$ número de un dígito (y calculando la media de la parte superior y el límite inferior, acaba de sumar y dividir por $2$ es fácil con la mano).

Y la exactitud de este resultado garantizado por la construcción. Supongamos que se desea calcular el $\sqrt{2}$ a $8$ decimales:

$$x^2 = 2 \cdot 10^{16}$$

$$\begin{array} {c|ccc} \text{Step} & \text{LowerBound} & \text{UpperBound} &\text{MidPoint} \\ 1 & 100000000 & 1000000000 & 550000000 \\ 2 & 100000000 & 549999999 & 324999999 \\ 3 & 100000000 & 324999998 & 212499999 \\ 4 & 100000000 & 212499998 & 156249999 \\ 5 & 100000000 & 156249998 & 128124999 \\ 6 & 128125000 & 156249998 & 142187499 \\ 7 & 128125000 & 142187498 & 135156249 \\ 8 & 135156250 & 142187498 & 138671874 \\ 9 & 138671875 & 142187498 & 140429686 \\ 10 & 140429687 & 142187498 & 141308592 \\ 11 & 141308593 & 142187498 & 141748045 \\ 12 & 141308593 & 141748044 & 141528318 \\ 13 & 141308593 & 141528317 & 141418455 \\ 14 & 141418456 & 141528317 & 141473386 \\ 15 & 141418456 & 141473385 & 141445920 \\ 16 & 141418456 & 141445919 & 141432187 \\ 17 & 141418456 & 141432186 & 141425321 \\ 18 & 141418456 & 141425320 & 141421888 \\ 19 & 141418456 & 141421887 & 141420171 \\ 20 & 141420172 & 141421887 & 141421029 \\ 21 & 141421030 & 141421887 & 141421458 \\ 22 & 141421030 & 141421457 & 141421243 \\ 23 & 141421244 & 141421457 & 141421350 \\ 24 & 141421351 & 141421457 & 141421404 \\ 25 & 141421351 & 141421403 & 141421377 \\ 26 & 141421351 & 141421376 & 141421363 \\ 27 & 141421351 & 141421362 & 141421356 \\ 28 & 141421357 & 141421362 & 141421359 \\ 29 & 141421357 & 141421358 & 141421357 \\ \end{array}$$

$29$ $8$-dígitos multiplicaciones por $8$ decimales de precisión (y mucho incluso que era redundante).

Answer 4

Otra técnica podría ser usar la serie de Taylor$$(1+x)^{1/2} = 1+ \frac 12 x - \frac 18 x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 +\cdots.$ $

Los coeficientes de esta serie son$\frac{(-1)^k }{k!} \left(\frac12\right) \left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\cdots\left(\frac32 - k\right)$. Puede insertar$x=1$ para que la serie se evalúe como$\sqrt2$, pero la serie converge más rápido si comienza con una aproximación racional de$\sqrt2$ y usa la serie de Taylor para calcular un factor de corrección. por ejemplo $\sqrt 2 = 1.4 \cdot \left(1 + \frac{1}{49}\right)^{1/2}.$