Equivalencia elemental versus equivalencia entre la teoría total en la teoría de modelos.

Question

En la página de primaria equivalencia en wikipedia, en la introducción, dicen:

"Si N es una subestructura de M, a menudo se requiere un mayor condición. En este caso N es llamado una escuela primaria de la subestructura de M si cada primer orden σ-fórmula φ(a1, ..., an) con los parámetros a1, ..., an de N es cierto en N si y sólo si es verdadera en M".

Es verdad que es una condición más fuerte? Es decir, hay estructuras de N y M, donde la Teoría(N) = Teoría(M), pero no hay ninguna primaria de asignación de N en M?

Tal vez una aclaración: La página de la wikipedia menciona dos definiciones distintas de primaria de equivalencia(cada enunciado es verdadero en tanto estructuras o falso en ambos frente Hay una asignación de uno a otro, que se conserva bajo todas las fórmulas). Lo que tengo curiosidad por saber es un contraejemplo a la equivalencia de estas dos versiones.

Un enlace de uno de los comentarios que responde a mi pregunta: http://mathoverflow.net/questions/82157/example-of-two-structures

Answer 1

Hay contraejemplos. Considerar la lengua con la firma de $\{P_n\mid n\in {\bf N}\}$ donde $P_n$ son predicados unarios.

Ahora, considere el modelo de $M=(2^{\bf N},P_n)_{n\in {\bf N}}$ donde $P_n$ tiene el obvio interpretaciones ($x\in P_n^M$ si $x(n)=1$), y dos submodelos: $M_1$, que se compone de los elementos de $M$ que son, finalmente,$0$, por lo que $$ \forall x\in M_1\,\exists n_0\in {\bf N}\,\forall n>n_0\,(\neg P_n(x))$$ y su doble, $M_2$, que se compone de los elementos de $M$ que son, finalmente,$1$. A continuación, $M_1$ e $M_2$ son elementarily equivalente (que son modelos de la teoría de la infinidad de conjuntos independientes), pero no solo no hay primarias de la incrustación de una en la otra, no hay ninguna que no sea trivial parcial homomorphism.