Reducibilidad de una fracción.

Question

Encontré este problema en "Matemáticas elementales" de Dorofeev.

¿Para qué números naturales n es la fracción$\frac{2n+3}{5n+7}$ reducible a términos más bajos?

Así que esto significa que$2n + 3$ y$5n + 7$ deben compartir un divisor común$D$ para que sea reducible. Pero la configuración de$2n+3=pD$ y$5n+7 = qD$ realmente no me lleva a ningún lado. ¿A dónde me voy mal aquí?

Answer 1

Pista: tienes$$5(2n+3)-2(5n+7)=1

Answer 2

El mapa lineal$\rm\,(n,1)\mapsto (5n\!+\!7,2n\!+\!3)\,$ tiene$\, \det = 5\cdot3-7\cdot 2\!=\color{}{1},\,$ por lo tanto, por este teorema muy simple, $\, \gcd(5n\!+\!7,2n\!+\!3) =\gcd(n,1)=\color{}{1}$

Observar $\ $ Para continuar con su enfoque, podemos trabajar con ecuaciones lineales en módulo un divisor común$\,d\,$ para eliminar $\,n,\,$ a saber, si$\ d\mid 2n\!+\!3,5n\!+\!7\,$ entonces

${\rm mod}\ d\!:\,\ \begin{align} 2n\equiv -3\\ 5n\equiv -7\end{align}$$\ \Rightarrow\ \begin{align} 10n\equiv -15\\ 10n\equiv -14\end{align}\ \Rightarrow\ {-}15\equiv -14\ \Rightarrow\ d\mid 15\!-\!14 = 1\,\Rightarrow\,d=1$

El Teorema en la respuesta vinculada sistematiza este proceso de eliminación.

Answer 3

$\gcd(5n + 7, 2n + 3) = \gcd(n + 1, 2n + 3) = \gcd(n + 1, 1) = 1$.