Se trata de encontrar una colección contable de conjuntos abiertos cuya intersección sea igual a S

Question

Posible duplicado:
¿Cómo se puede demostrar que los racionales no son la intersección contable de conjuntos abiertos?

Como tema, demostrar que el conjunto $S$ de números racionales en el intervalo (0,1), no puede expresarse como la intersección de una colección contable de conjuntos abiertos.

Answer 1

Esto se desprende inmediatamente de la Teorema de la categoría Baire . Supongamos que $\Bbb Q\cap(0,1)=\bigcap_{n\in\Bbb N}U_n$ donde cada $U_n$ está abierto. Para cada $q\in\Bbb Q\cap(0,1)$ dejar $V_q=(0,1)\setminus\{q\}$ . Entonces $$\{U_n:n\in\Bbb N\}\cup\{V_q:q\in\Bbb Q\cap(0,1)\}$$ es una familia contable de subconjuntos abiertos densos de $(0,1)$ cuya intersección está vacía. Como $(0,1)$ es localmente compacto, sin embargo, el teorema de la categoría Baire asegura que la intersección de una familia contable de conjuntos abiertos densos es densa en $(0,1)$ .