(1): Están hablando de cosas muy diferentes.
El pregunta que enlaza originalmente se pregunta si podemos utilizar una construcción de cociente para sustituir cualquier categoría por una categoría esquelética. Dado que se propone justificar que se trabaje siempre con categorías esqueléticas, es de suponer que la categoría cotizada sea equivalente a la original; y esto (según La respuesta de Angelo allí ) no es posible sin el axioma de elección. (Es decir: se puede demostrar que si cada categoría tiene un cociente esquelético equivalente, entonces AC se mantiene).
Por otro lado, hay varias formas de podría definir una estructura de categoría en la clase de iso clases de objetos de una categoría - sólo que no suelen ser esqueléticos o equivalentes a la categoría original. Trivialmente, se podría utilizar la estructura de categoría discreta o codiscreta.
De forma menos trivial, el Documento de Fritsch 1985 que usted enlaza considera la expulsión, sobre la categoría discreta en $\mathrm{ob}(\mathbf{C})$ de $\mathbf{C}$ y la categoría discreta de clases iso de objetos de $\mathbf{C}$ . Esto se describe quizás más claramente por su propiedad universal: los funtores fuera de la misma corresponden a funtores fuera de $\mathbf{C}$ enviando objetos isomórficos a objetos iguales. Tomando $\mathcal{I}$ para ser el "isomorfismo caminante", la categoría codiscreta sobre dos objetos, se encuentra que su cociente de Fritsch es el grupo $\mathbb{Z}$ visto como una categoría de un solo objeto. (Para ver esto, considere las propiedades universales.) Esto no es ni esquelético, ni equivalente a $\mathcal{I}$ sí mismo.
El cociente de Fritsch es, aunque intrigante, un poco antinatural para muchos propósitos: no respeta, por ejemplo, la equivalencia de categorías. El ejemplo anterior vuelve a mostrarlo: $\mathcal{I}$ es equivalente a la categoría terminal $1$ cuyo cociente de Fritsch es simplemente él mismo, lo que ciertamente no es equivalente a $\mathbb{Z}$ ¡!
(2): ¿Se pueden clasificar las excepciones?
("Las excepciones" significa aquí, presumiblemente, "las categorías en las que puede poner una estructura en la clase de clases iso, tal que el mapa de cociente en los objetos $q : \mathrm{ob} \mathbf{C} \to \pi_0(\mathbf{C})$ se convierte en el mapa objeto de una equivalencia de categorías").
No conozco ninguna forma de clasificarlos en general, y la equivalencia con AC me sugiere vagamente que no se debería esperar hacerlo (pero es una sensación visceral muy vaga; no estoy seguro de su significado). Sin embargo, una clase muy importante de ejemplos son las categorías de rígido objetos - categorías en las que si dos objetos son isomorfos, lo son de forma única; o de forma equivalente, en las que los objetos no tienen automorfismos no triviales. No voy a dar los detalles de cómo hacerlo para las categorías rígidas; es un buen ejercicio. Pero las ideas relacionadas con este ejemplo surgen naturalmente en muchos lugares -por ejemplo, la construcción de espacios de módulo . Si algún tipo de objeto - widgets, digamos- es siempre rígido, entonces se puede construir un bonito "espacio de widgets". Sin embargo, si tienen automorfismos/simetrías no triviales, el "espacio de widgets" tendrá que recordarlo, por lo que tendrá que ser un objeto más complicado - un pila de algún tipo. Hay algunas referencias muy buenas sobre esto que se me escapan en este momento; estoy tratando de recordarlas/rastrearlas, y las daré cuando/si lo hago.
