Isomorfismo entre dos módulos que tienen un producto interno y una acción$\mathbb{Z}_p[G]$

Question

Deje $G$ ser un grupo finito (no necesariamente abelian), vamos a $\mathbb{Z}_p$ el valor del p-ádico enteros y deje $M$ e $N$ dos finitely generadas $\mathbb{Z}_p$-módulos, los cuales son también $G$-módulos. Supongamos además que existe un perfecto emparejamiento bilineal $$\langle \cdot, \cdot \rangle : M\times N \to \mathbb{Z}_p$$ que para todos los $m \in M$, $n \in N$ y $g\in G$ satisface $$\langle m^g,n^g\rangle=\langle m,n\rangle^g$$ y $$\langle m^g,n\rangle=\langle m,n^{g^{\ast}} \rangle,$$ donde $*:\mathbb{Z}_p[G] \to \mathbb{Z}_p[G]$ es una cierta involución. Tengo dos preguntas:

1. Es posible demostrar (tal vez en algunas hipótesis adicionales, tales como $M$ e $N$ son gratis y finitely generada) que $M$ e $N$ son isomorfos como $\mathbb{Z}_p[G]$-módulos?

Por ejemplo, cuando se $N$ es gratis y finitely generado, de lo anterior tenemos que $$ M \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(N,\mathbb{Z}_p)$$ como $\mathbb{Z}_p[G]$-módulos y $$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(N,\mathbb{Z}_p) \cong N$$ como $\mathbb{Z}_p$ módulos. Además, un Corolario de Maschke del teorema afirma que si $L$ es un módulo se define sobre un campo $K$ con carácter no dividiendo $|G|$, luego $$\mathrm{Hom}_{K}(L,K) \cong L$$ como $K[G]$-módulos. Así que parece que el resultado sería verdadero si hemos trabajado en $\mathbb{Q}_p[G]$.

2. Si el resultado de la parte 1) es verdadera, se puede extender hasta el infinito grupos $G$?

Answer 1

No es cierto que el $K$-lineal dual de una representación $L$ es isomorfo a $L$. Por ejemplo, si $K=\mathbf{C}$ es el campo de los números complejos, a continuación, $L \cong L^*$ si y sólo si los caracteres son iguales $$\chi_L=\chi_{L^*}$$ so since the character of the dual is the complex conjugate of the character of $L$, this happens if and only if the character of the representation of $L$ es real.

Así que usted no debe esperar que esto sea cierto por el $p$-ádico enteros, ya sea, y no lo es. Tome $G$ a ser el grupo cíclico de orden $3$, tome $p=7$, de modo que $\mathbf{Z}_7$ contiene una primitiva tercera raíz de la unidad $\zeta$, y tome $M=\mathbf{Z}_7$ con la acción de $G$ definido por dejar a un fijo generador de $g$ ley como la multiplicación por $\zeta$. El doble ha $g$ actuando por la multiplicación por $\zeta^{-1}$, por lo tanto no es isomorfo a $M$.