Cómo probar que el triángulo es rectangular.

Question

Mi objetivo aquí es demostrar que la multiplicación de segmentos de recta tangente celebrados entre dos líneas rectas (que también son tangentes) son iguales a $r^2$. Y es evidente si se administra en el triángulo tiene un rincón de $90^\circ$. Así que estoy tratando de encontrar una manera de demostrar que el triángulo con una hipotenusa como una línea tangente a este círculo es rectangular. Creo que podría dibujar una mediana y hacer una circunferencia circunscrita alrededor de este triángulo, pero supongo que hay alguna otra prueba, no sólo a este, sino también a cualquier otro por la tangente ángulo diferente.

Answer 1

Dibuje la línea$CD$ a través de O perpendicular a las líneas paralelas:$C$ en la línea que pasa por$A$ y$D$ en la línea que pasa por$B$. Esas líneas paralelas tocan el círculo en$C$ y$D$. Además, deje que$E$ sea el punto donde la línea$AB$ toca el círculo.

Tenemos$\triangle OAC\cong\triangle OAE$ (porque$OA=OA, OC=OE, \angle OCA=\angle OEA=90^\circ$) y de manera similar$\triangle OBD\cong\triangle OBE$.

Por lo tanto,$\angle AOE=\angle AOC$ y$\angle BOE=\angle BOD$, así que$$\angle AOB=\angle AOE+\angle BOE=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle AOE+\angle BOE+\angle BOD)=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ

Answer 2

Usando las coordenadas, si$O=(0,0), B=(b,-1)$ y el círculo tiene un radio$1$, entonces$A=(1/b,1)$. Los vectores$OA$ y$OB$ son claramente ortogonales.

Aquí hay una hoja de ruta.

Dejar $B=(b,-1)$. Una línea a través de$B$ viene dada por$y+1 = \alpha (x-b)$. Enchufe esto en$x^2+y^2=1$ y obtenga una ecuación cuadrática en$x$. La línea es tangente al círculo si el discriminante es cero. Esto da $\alpha=2b/(1-b^2)$. Al volver a insertar esto y$y=1$ en la ecuación de línea, se obtiene$A=(1/b,1)$.