Si$f(x) = 0$ tiene infinitas soluciones para la serie de Taylor de$f$, ¿esto determina de forma única$f$?

Question

Euler original de la prueba de que $\sum_n 1/n^2 = \pi^2/6$ parecía implícitamente se basan en la suposición de que la serie $1 - x/3! + x^2/5! + \ldots$ fue la única serie que había $\{(n \pi)^2\}_{n=1}^{\infty}$ como las raíces. Esto es cierto en general? I. e. si tengo contables de una cantidad infinita de no-cero raíces $x_n$ de % de $f$ tal que $\sum_n 1/x_n$ converge absolutamente, y $0$ no es una raíz de $f$, entonces si $f$ tiene un desarrollo en serie de Taylor en $0$ que converge en todas partes, es $f$ (es decir, la serie de Taylor de $f$ a $0$) se determina únicamente hasta un escalar múltiples, sólo por el conocimiento de las raíces? Si $f(0) = 1$, es la serie de Taylor de $f$ a $0$ siempre dada por las fórmulas usuales para el polinomio de coeficientes en términos de los recíprocos de las raíces, suponiendo que el término constante del polinomio es $1$? ¿Qué se puede decir acerca de una posible serie de Taylor para $f$ a $0$ si $f(0) = 1$ e $\sum_n 1/x_n$ bifurca y/o no converge absolutamente (o no posible desarrollo en serie de Taylor con los no-cero radio de convergencia)?

Answer 1

Tal vez Weierstraß-Factorización-Teorema es algo para usted. Se dice que por cada secuencia $a_n$ con $|a_n|\to \infty$ encontrar toda una función que tiene un cero en cada una de las $a_n$ y son cero sólo allí.

Así que, de hecho después de saber todo de cero (con multiplicidad) dos funciones sólo se diferencian por una $\exp(g(z))$ plazo, donde $g$ es todo.

Dice: (tomado de Wikipedia)

Deje $f$ ser toda la función, y deje $\{a_n\}$ ser el cero ceros de $f$ repetirse de acuerdo a la multiplicidad; supongamos también que $f$ tiene un cero en $z = 0$ orden $m \geq 0$ (un cero de orden $m = 0$ a $z = 0$ medio $f(0) \neq 0$). Entonces existe una función toda $g$ y una secuencia de enteros $\{p_n\}$ tal que $$f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right)$$ donde $$E_n(z) = \begin{cases} (1 -z) & \text{if }n=0, \\ (1-z)\exp \left( \frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n} \right) & \text{otherwise}. \end{cases}$$

Answer 2

No es cierto que pueda extraer de forma exclusiva una función de sus ceros cuando no sea un polinomio. Por ejemplo,$\sin x$ y$e^x \sin x$ tienen ceros idénticos.