Se me ocurren varias adiciones a su lista que no parecen estar representadas todavía.
1. Resoluciones de Semismall
Este primer ejemplo es bastante general, pero después hablaré de cómo se utiliza en la teoría de Springer.
En primer lugar, supongamos que $f:X \to Y$ es un mapa propio de variedades algebraicas complejas irreducibles estratificadas con $X$ racionalmente suave tal que, si $Y = \cup Y_n$ es la estratificación de $Y,$ la restricción de $f$ a $f^{-1}(Y_n) \to Y_n$ es topológicamente localmente trivial (hay un teorema (no sé de quién es) que dice que siempre podemos encontrar una estratificación tal que esta condición se cumpla). Además, decimos que $f$ es semi-pequeño si para cada estrato $Y_n,$ la dimensión de la fibra de $f^{-1}(Y_n) \to Y_n$ es menor o igual que la mitad de la codimensión de $Y_n$ dentro de $Y.$ Esta condición es importante en gran medida por el siguiente teorema:
Datos . El pushforward de la gavilla perversa constante bajo un mapa semismall es todavía perverso.
Además, decimos que un estrato $Y_n$ es relevante siempre que la igualdad se mantenga arriba, es decir, el doble de la dimensión de la fibra es igual a la codimensión. Estas serán importantes pronto, ya que serán las subvariedades que aparecen en el teorema de descomposición.
Por las suposiciones que hicimos sobre $f:X \to Y,$ tenemos una acción de monodromía de $\pi_1(Y_n)$ en el grupo de cohomología de dimensión superior de la fibra de $f^{-1}(Y_n) \to Y_n.$ Esto corresponde a un sistema local $L_{Y_n},$ que podemos descomponer en componentes irreducibles: $L_{Y_n} = \oplus L_{\rho}^{d_{\rho}}$ donde $\rho$ recorre el conjunto de representaciones irreducibles de $\pi_1(Y_n)$ y $d_{\rho}$ son enteros no negativos. Entonces decimos que un par $(Y_n, \rho)$ es relevante si $Y_n$ es un estrato relevante y $d_{\rho} \neq 0$ (es decir, $\rho$ aparece en la descomposición de la representación de $\pi_1(Y_n)$ ).
Ahora podemos por fin enunciar un teorema, que creo que se debe a Borho y Macpherson, pero quizás otros también merecen el crédito. Mantener las suposiciones iniciales en $f:X \to Y,$ pero ahora supongamos además que $X$ es suave. Entonces un poco de trabajo más el teorema de descomposición establecen lo siguiente.
Teorema . $f_{\ast}IC_X = \oplus IC_{Z_n}(L_{\rho})^{d_{\rho}}$ donde $Z_n$ es el cierre de $Y_n$ y la suma abarca todos los pares relevantes $(Y_n, \rho).$
Este teorema se utiliza en Teoría de Springer (y quizás también en otros lugares). En este caso, queremos $f:X \to Y$ para ser la resolución de Springer. Es decir, $Y = \mathcal{N},$ el cono nilpotente de un álgebra de Lie $g$ asociado a un grupo reductor $G$ y $Y = \widetilde{\mathcal{N}},$ la variedad de pares $(x,b)$ donde $x \in \mathcal{N},$ $b$ es una subálgebra de Borel, y $x \in b.$ Si estratificamos $\mathcal{N}$ utilizando el $Ad(G)$ -(de los cuales hay un número finito), entonces resulta que la resolución de Springer es semidébil y cada estrato es relevante.
Además, se puede demostrar que el $L_{\rho}$ que aparecen en el teorema anterior corresponden a las componentes irreducibles de la representación regular del grupo de Weyl de $G.$ Esto puede verse de la siguiente manera. Hay un análogo de la resolución de Springer $\pi:\widetilde{g} \to g$ definido como arriba pero con g en lugar de $\mathcal{N}.$ Por cambio de base propio, el pushforward de la gavilla constante sobre $\widetilde{\mathcal{N}}$ coincide con el retroceso (bajo la inclusión $\mathcal{N} \to g$ ) del pushforward de la gavilla constante en $\widetilde{g}.$ Por último, dado que $\pi$ es lo que se conoce como un mapa pequeño, el pushforward de la gavilla constante en $\widetilde{g}$ es igual a $IC_g(L)$ donde $L$ es el sistema local en el subconjunto abierto denso $g^{rs}$ de elementos regulares semisimples obtenidos a partir de la $W$ -torsor $\widetilde{g^{rs}} \to g^{rs}.$ De todo esto obtenemos que los grupos de cohomología de las fibras de Springer producen todas las representaciones irreducibles de $W.$
2. Satake geométrico
En otra dirección, permítanme mencionar cómo se utiliza el teorema de descomposición en la correspondencia geométrica de Satake (véase el Papel de Mirkovic-Vilonen o el documento de Ginzburg sobre este tema).
Satake geométrico se ocupa de demostrar una equivalencia tensorial entre la categoría de láminas esféricas perversas sobre el Grassmanniano afín (es decir, láminas perversas que son sumas directas de láminas IC) asociadas a un grupo reductor $G$ y la categoría de representaciones del dual de Langlands de $G.$ Esto se hace a través del formalismo tannakiano, que en particular requiere una estructura tensorial sobre las láminas esféricas perversas. Esta estructura tensorial procede de un producto de convolución sobre las láminas perversas, lo que significa que procede de un pull-back seguido de un producto tensorial seguido de un pushforward. Para asegurar que esta operación lleva a las láminas esféricas perversas a láminas esféricas perversas, necesitamos el teorema de descomposición.
Edición: Según los comentarios de abajo, el teorema de descomposición no es necesario para definir el producto de convolución.
Comentarios sobre Kazhdan-Lusztig
Voy a suponer que Gil Kalai se refiere al trabajo de Lusztig sobre Polinomios de Kazhdan-Lusztig y la conjetura Kazhdan-Lusztig (mencionada en su respuesta). En particular, tienen un documento,
- [KL] Variedades de Schubert y dualidad de Poincaré D. Kazhdan, G. Lusztig, Proc. Symp. Pure Math, 1980
en el que los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig se relacionan con las dimensiones de la cohomología de intersección de las variedades de Schubert (que generalmente no son suaves, de ahí la aparición de la cohomología de intersección). En este punto, el Teorema de Descomposición no se había demostrado y no se utilizó en [KL]. Sin embargo, la demostración del Teorema de la Descomposición utiliza en gran medida el Teorema de la Pureza de Deligne, que tampoco se había demostrado en la época de [KL]. Kazhdan y Lusztig acabaron dando una prueba del Teorema de la Pureza en el caso especial que estaban considerando (es decir, una prueba para las variedades de Schubert). Teniendo en cuenta esto, no es demasiado sorprendente que unos años más tarde Macpherson y Gelfand dieran una prueba del mencionado resultado de [KL] utilizando el teorema de descomposición y el resultado explicado al principio de esta respuesta.
Tengo entendido que Lusztig tiene otro artículo de mediados de los ochenta sobre grupos de Chevalley finitos que utiliza la conjetura Kazhdan-Lusztig (demostrada en 1981) y toda la maquinaria de las láminas perversas y el Teorema de la Descomposición (aunque nunca lo he mirado). Además, el trabajo de Lusztig a finales de los setenta y principios de los ochenta sobre la teoría de Springer ciertamente insinúa los métodos de la Teoría de la Descomposición que finalmente utilizaron Borho y Macpherson (algunas de sus conjeturas son demostradas por Borho y Macpherson, por ejemplo).
Una maravillosa historia y guía de referencia de gran parte de esto se puede encontrar en este artículo por Steve Kleiman.
