¿Infinitos huecos primos máximos y no máximos?

Question

Se trata de una pregunta sencilla sobre huecos primos de primera ocurrencia y huecos primos máximos y no máximos.

Un intervalo entre números primos es máximo si es mayor que todos los huecos entre primos más pequeños.

Mis preguntas son: ¿hay alguna prueba de que existen infinitos huecos primos maximales? ¿Hay alguna prueba de que existen infinitos espacios primos no máximos?

Gracias de antemano.

Answer 1

Existen huecos primos arbitrariamente grandes (todos los números $N! + k$ para $2 \leqslant k \leqslant N$ son compuestos), por lo que hay infinitos huecos primos maximales.

Si sólo hubiera un número finito de vacíos primos no máximos, la secuencia de vacíos primos acabaría siendo estrictamente creciente, y eso significaría que la secuencia de primos crece al menos cuadráticamente a largo plazo, lo que contradice el Teorema de los números primos

$$\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}.$$