Tipo de orden y su reverso

Question

Me han dado la siguiente definición:

Para un tipo de orden arbitrario $\Theta$ , denótese por $\Theta$ * (el reverso de $\Theta$ ) el tipo de pedido $type\Theta$ * $=typeA(\succ)$ , donde $\langle A,\prec \rangle$ es un conjunto ordenado de tipo de orden $\Theta$ .

Y el ejemplo:

$\omega_0$ * $=type$ { $-n : n \in \omega $ } $(<)$ .

Me cuesta entender esto. ¿El ejemplo muestra que si $\omega_0$ es el tipo de orden de $\omega$ entonces $\omega_0$ * ¿es el tipo de orden de los enteros negativos?

Además, si $\eta_0$ es el tipo de orden de $\mathbb{Q}$ ¿Por qué? $\eta_0 = \eta_0$ *?

Answer 1

Sí, $\omega_0^*$ es efectivamente el tipo de orden de los enteros negativos. La idea es simplemente "escribirlo al revés" y obtener un nuevo tipo de orden.

Sin embargo, a veces, al escribir el tipo de orden a la inversa obtenemos el mismo resultado, por ejemplo si se toma $\{0,1,2,3\}$ el orden natural $0<1<2<3$ y su inversa $3>2>1>0$ son del mismo tipo de orden.

Además, si se toman los enteros se tiene el mismo resultado, es decir $\mathbb Z$ con la ordenación habitual $<$ y con la ordenación inversa $>$ son del mismo tipo de orden (la función $x\mapsto -x$ es el isomorfismo necesario para demostrarlo).

Del ejemplo anterior se puede deducir el resultado para los números racionales. El orden inverso significa que $q_1<q_2$ entonces $q_2>q_1$ y como antes $x\mapsto -x$ es el isomorfismo necesario para demostrarlo.

Añadido: Decimos que $a<b$ si $\langle a,b\rangle\in <$ Los órdenes inversos son esencialmente $\langle b,a\rangle$ cuando $\langle a,b\rangle\in <$ .

Supongamos que $\langle A,R\rangle$ y $\langle B,S\rangle$ son dos conjuntos ordenados, un isomorfismo de orden $f$ es una función con las siguientes propiedades:

1. $f\colon A\to B$ es una biyección;
2. $aRb\iff f(a)Sf(b)$ Es decir: $\langle a,b\rangle\in R\iff \langle f(a),f(b)\rangle\in S$ .

De esto se deduce que un isomorfismo preserva propiedades como " $a$ es mínimo si y sólo si $f(a)$ es mínimo".

Esto significa que $\omega$ y $\omega^*$ son no es isomorfo ya que $0$ es mínimo en los enteros no negativos, pero $f(0)$ es máximo en los enteros no positivos.

Answer 2

Sí, $\omega_0^*$ es el tipo de orden de los enteros negativos, y eso es lo que muestra el ejemplo; la inversión de un tipo de orden simplemente lo "invierte". Para mostrar que $\eta_0^* = \eta_0$ Sólo tienes que demostrar que $\langle \mathbb Q, < \rangle$ es de orden isomorfo a $\langle \mathbb Q, > \rangle$ . Informalmente, hay que demostrar que "girar $\mathbb Q$ alrededor" no cambia la "forma" de su orden.

Más concretamente, hay que encontrar una biyección $h$ de $\mathbb Q$ a sí mismo de manera que para todo $p,q \in \mathbb Q$ , $h(p) > h(q)$ si $p<q$ . Usted sabe que $p<q$ si $-p > -q$ por lo que la función $h:\mathbb Q \to \mathbb Q:p \mapsto -p$ parece una muy buena apuesta. Claramente $h(p) > h(q)$ si $-p > -q$ si $p<q$ y le dejaré a usted que lo verifique $h$ es una biyección en $\mathbb Q$ .