Así que no tengo que preocuparme por las formalidades, en el siguiente let $\mathscr{C}$ sea una categoría suficientemente buena, al menos lo suficiente para que la siguiente definición tenga sentido. Creo que concreto y localmente pequeño es suficiente, pero en realidad sólo estoy pensando en ejemplos mansos como $\mathbf{Grp},\mathbf{Ring},R$ - $\mathbf{Mod}$ , $\mathbf{Top}$ etc.
Definición: Digamos que a par de homgeneidad en $\mathscr{C}$ consiste en un par $(X,G)$ donde $X$ es un objeto de $\mathscr{C}$ et $G$ es un subgrupo de $\text{Aut}_\mathscr{C}(X)$ tal que la acción habitual $G\curvearrowright X$ es transitiva. Digamos que un objeto $X$ de $\mathscr{C}$ tiene un principio de homogeneidad si existe un subgrupo $G$ de $\text{Aut}_\mathscr{C}(X)$ tal que $(X,G)$ es un par de homogeneidad.
Tengo dos preguntas. La primera es sencilla:
- Algunos ejemplos de categorías $\mathscr{C}$ para el que tenemos una descripción completa de los elementos con un principio de homogeneidad?
EDITAR: Como señala Thomas Andrews más adelante, es evidente que hay un gran error en lo que se expone a continuación. Los grupos no triviales nunca pueden tener un principio de homogeneidad, porque el elemento de identidad es únicamente diferente de otros elementos. A continuación se muestra que los únicos grupos f.g. en los que dos puntos distintos de cero se parecen son los abelianos elementales $p$ -grupos. Todos los espacios vectoriales tienen el mismo problema: todo parece igual, excepto el punto cero. Voy a tratar de pensar en cómo remediar esto, para que sea coherente.
Por ejemplo, en la categoría $f.g.\mathbf{Grp}$ de grupos finitamente generados, afirmo que los únicos objetos con un principio de homogeneidad son los abelianos elementales $p$ -grupos. En primer lugar, hay que tener en cuenta que $G$ debe ser igual a cualquiera de sus subgrupos característicos, y así en particular, $G=Z(G)$ . Ahora bien, observemos que $G$ no puede tener una parte libre. En efecto, supongamos que $G\cong \mathbb{Z}^r\times A$ donde $A$ es un grupo abeliano finito. Obsérvese que no hay ningún elemento de $\text{Aut}(G)$ enviando $(1,0,\ldots,0,0)$ a $(2,0,\ldots,0,0)$ desde $2x=(1,0,\ldots,0,0)$ no tiene solución con $x\in G$ . Así, vemos que $G$ es necesariamente abeliano finito. Obsérvese que cada elemento de $G$ tiene el mismo orden. Inmediatamente después vemos que si
$$G\cong (\mathbb{Z}/p_1^{e_1}\mathbb{Z})\times\cdots\times(\mathbb{Z}/\mathbb{Z}p_m^{e_m})$$
entonces $p_1^{e_1}=\cdots=p_m^{e_m}=p$ . Así, $G$ es necesariamente un abeliano elemental $p$ -grupo. Por el contrario, si $G$ es un abeliano elemental $p$ -grupo entonces $\text{Aut}_{f.g.\mathbf{Grp}}(G)=\text{Aut}_{\mathbf{Vec}_{\mathbb{F}_p}}(G)$ de donde el hecho de que $G$ tiene un principio de homogeneidad como elemento de $f.g.\mathbf{Grp}$ se deduce de la siguiente observación trivial:
Observación: Para cualquier campo $k$ cada objeto de $\mathbf{Vec}_k$ tiene un principio de homogeneidad.
Ejemplos de objetos con principio de homogeneidad en $\mathbf{Top}$ et $\mathbf{Man}_\infty$ son grupos topológicos y grupos de Lie, respectivamente. Nótese sin embargo que, en general, los objetos de grupo de una categoría no poseen un principio de homogeneidad. Por ejemplo, en $\mathbf{Grp}$ los objetos de grupo son sólo grupos abelianos, por lo que no pueden tener un principio de homogeneidad en general (por lo anterior). El problema para $\mathbf{Grp}$ es que el mapa $G\to G\times G:x\mapsto (g,x)$ es un morfismo si y sólo si $g=e$ .
Entonces, ¿podemos clasificar todos los elementos de $\mathbf{Top}$ ou $\mathbf{Man}_\infty$ con un principio de homogeneidad? ¿Y para otras categorías comunes?
La segunda pregunta es casi con toda seguridad demasiado complicada de responder. Para cualquier categoría $\mathscr{C}$ como arriba, podemos formar una nueva categoría $\mathscr{D}$ la categoría de pares homogéneos. Los objetos de $\mathscr{D}$ consisten en pares de homogeneidad $(X,G)$ y los morfismos $(X,G)\to (Y,H)$ constan de pares $(f,\varphi)$ donde $f:X\to Y$ es un $\mathscr{C}$ -morfismo, y $\varphi:G\to H$ es un mapa de grupo tal que para todo $x\in X$ et $g\in G$ tenemos que $f(gx)=\varphi(g)f(x)$ (es decir $f$ et $\varphi$ entrelazan las acciones de $(X,G)$ et $(Y,H)$ ).
Por ejemplo, si dejamos que $\mathscr{D}$ sea la categoría de pares de homogeneidad para $\mathbf{Man}_\infty$ entonces la categoría $\mathbf{Lie}$ de grupos de Lie es naturalmente identificable con una subcategoría de $\mathscr{D}$ . De hecho, podemos identificar $\mathbf{Lie}$ con la categoría de pares $(G,G)$ et $(f,f)$ donde $f$ es un mapa de grupo de Lie.
Así que la segunda pregunta es:
- ¿Existen categorías $\mathscr{C}$ para los que podemos encontrar una categoría de pares de homogeneidad (por ejemplo, encontrar una categoría más familiar a la que sea equivalente)?
EDITAR: Además, si alguien tiene alguna sugerencia sobre etiquetas, se lo agradeceríamos mucho.