Comportamiento asintótico de las series de Lambert

Question

¿Cómo puedo examinar el comportamiento asintótico de la serie de Lambert? $f(x) = \sum_{}^{} \frac{x^{n}}{1-x^{n}}$ cuando $x$ se acerca a $1^{-}$ - por ejemplo encontrar la función $ g(x)$ tal que $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{f(x)}{g(x)} = const$ . Agradecería mucho alguna pista o referencia a algún ejemplo similar, ya que no tengo ni idea de por dónde empezar.

Answer 1

Un enfoque elemental consiste en observar que el mapa $t \mapsto \frac{x^t}{1-x^t}$ es decreciente para $0 < x < 1$ Así que

$$ \int_1^\infty \frac{x^t}{1-x^t}\,dt \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1-x^n} \leq \frac{x}{1-x} + \int_1^\infty \frac{x^t}{1-x^t}\,dt. $$

Desde

$$ \int_1^\infty \frac{x^t}{1-x^t}\,dt = \frac{\log(1-x)}{\log x} \sim \frac{\log(1-x)}{x-1} $$

como $x \nearrow 1$ concluimos que

$$ \lim_{x \nearrow 1} \frac{x-1}{\log(1-x)}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1-x^n} = 1. $$

Answer 2

Podemos encontrar una fórmula asintótica utilizando el teorema del residuo y la transformada inversa de Mellin : $$\begin{array}{ll}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \tau(n) e^{-nx} &=& \displaystyle\frac{1}{2i\pi}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} \Gamma(s) \zeta(s)^2 x^{-s} ds\\ &=& Res(\Gamma(s) \zeta(s)^2 x^{-s},1)+Res(\Gamma(s) \zeta(s)^2 x^{-s},0) +Res(\Gamma(s) \zeta(s)^2 x^{-s},-1) \\ && \qquad \qquad\displaystyle +\frac{1}{2i\pi}\int_{-3/2-i\infty}^{-3/2+i\infty} \Gamma(s) \zeta(s)^2 x^{-s} ds\\ &=& \displaystyle \frac{A\ln x+B}{x} +C+ \mathcal{O}(x) \qquad\qquad (x\to 0^+,\sigma > 1)\end{array}$$

Dónde $$Res(\Gamma(s) \zeta(s)^2 x^{-s},1)=Res((1-\gamma (s-1))(\frac{1}{s-1}+\gamma)^2 x^{-s},1)= \frac{-\ln x+\gamma}{x}$$ y $$Res(\Gamma(s) \zeta(s)^2 x^{-s},0) = Res(\frac{\zeta(0)^2}{s},0) = \frac{1}{4}$$ Por lo tanto $$\boxed{\sum_{n=1}^\infty \frac{y^n}{1-y^n}=\sum_{n=1}^\infty \tau(n) y^n = \frac{-\ln (-\ln y)+\gamma}{-\ln y} +\frac{1}{4}+ \mathcal{O}(\ln y) \qquad\qquad (y \to 1^-)}$$

Answer 3

Supongo que esto es $$ f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{1-x^n}$$

Tenga en cuenta que cuando $|x^n| < 1$ , $$ \frac{x^n}{1-x^n} = \sum_{k=1}^\infty x^{kn}$$ así que $f(x)$ se convierte en $$ \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty x^{kn} = \sum_{j=1}^\infty \tau(j) x^j$$ donde $\tau(j)$ es el número de divisores de $j$ .