La construcción de un pariente de la copa del producto $H^p(X, A) \otimes H^q(X, B) \to H^{p + q}(X, A \cup B)$

Question

Deje $A$ e $B$ ser subespacios de un espacio de $X$. ¿Qué es la construcción de un pariente de la copa del producto $$H^p(X, A) \otimes H^q(X, B) \to H^{p + q}(X, A \cup B)?$$ Here, we take cohomology with coefficients in a commutative ring $R$ and we write $\otimes$ for $\otimes_R$.

Answer 1

La construcción no es completamente inmediata, porque el mapa en cochains la definición de la copa del producto $\smile : C^k(X) \otimes C^l(X) \to C^{k+l}(X)$ directamente no mapa $C^k(X,A) \otimes C^l(X,B)$ a $C^{k+l}(X, A \cup B)$. Sin embargo, si usted mira la definición: $$(\varphi \smile \psi)(\sigma) = \varphi(\sigma_{\mid[v_0, \dots, v_k]}) \cdot \psi(\sigma_{\mid[v_k, \dots, v_{k+l}]}),$$ ver que si $\varphi \in C^k(X,A)$ (es decir, $\varphi$ se desvanece en simplices totalmente contenida en $A$) y $\psi \in C^l(X,B)$,, a continuación, $\varphi \smile \psi$ se desvanece tanto en simplices contenida en $A$ y en simplices contenida en $B$ (debido a $0 \cdot x = 0 = x \cdot 0$). Por lo $\smile$ restringe a un mapa $$\smile : C^k(X,A) \otimes C^l(X,B) \to C^{k+l}(X, A + B) := \hom_R(C_{k+l}(X) / (C_{k+l}(A) + C_{k+l}(B)), R),$$ es decir, $\varphi \smile \psi$ se desvanece en simplices que son totalmente contenida en $A$ o en $B$ (o ambos), y por lo tanto sus sumas.

Ahora hay una inclusión mapa de $C^{k+l}(X, A \cup B) \subset C^{k+l}(X, A + B)$ (porque si un cochain se desvanece en simplices contenida en $A \cup B$, se desvanece en simplices contenida en $A$ y en simplices contenida en $B$). Por otra parte, si tanto $A$ e $B$ están abiertas, esta inclusión mapa induce un isomorfismo en cohomology por los cinco-lema (que usted necesita para utilizar la escisión aquí para más detalles, cf. Hatcher, Topología Algebraica, p. 209). Así que la copa del producto que finalmente da un mapa en cohomology: $$\smile : H^k(X,A) \otimes H^l(X,B) \to H^{k+l}(X, A \cup B).$$