Contraejemplo para la diferencia entre dos delimitada la función

Question

Deje $X,Y$ ser algunos de los conjuntos y $f,g:X\times Y\to [0,1]$ dos delimitadas las funciones definidas sobre el conjunto de productos. Supongamos que $Y_n\uparrow Y$ es un aumento de la secuencia de conjuntos de cuya unión es $Y$, y que para cualquier $n\in \mathbb N$ e $x\in X$ existe $z(n,x)$ tal que $$f(x,y) = g(z(n,x),y) \quad\text{ para todo }y\en Y_n.$$ ¿Esto significa que para cualquier $x$ existe $z'(x)$ que satisface $$f(x,y) = g(z'(x),y) \quad\text{ para todo }y\Y.$$ Dudo que esto sea verdad, y yo estaba buscando un contraejemplo. Sin duda, el conjunto $X$ tiene que ser infinito, ya que la afirmación es verdadera para un finito $X$.

Answer 1

Vamos a construir un contra-ejemplo.

Tome $X=Y=\Bbb N$ e $Y_n=\{1,2,\ldots,n\}$. Definir $f$ e $g$ por las ecuaciones $f(x,y)=\frac1y$ e $g(x,y)=\frac1{\min\{x,y\}}$. Podemos ahora definir $z$ por la ecuación de $z(n,x)=n$.

Esto satisface la primera condición: $$f(x,y)=\frac1y=\frac1{\min\{n,y\}}=g(z(n,x),y)\text{ for all }y\in Y_n$$

Pero no hay ninguna función $z'$ que se cumple la segunda condición: supongamos que existe una función de este tipo y deje $x$ ser fijo. A continuación, $$\frac1y=f(x,y)=g(z'(x),y)=\frac1{\min\{z'(x),y\}}\text{ for all }y\in Y$$ Pero esto significa que $y=\min\{z'(x),y\}\le z'(x)$ para todos los $y\in Y$. Pero, a continuación, $Y = \Bbb N$ es acotado, lo cual es una contradicción.