¿Cómo puedo solucionar este infinito suma?

Question

He calculado (con la ayuda de Maple) que el siguiente infinita suma es igual a la fracción del lado derecho.

$$ \sum_{i=1}^\infty \frac{i}{\vartheta^{i}}=\frac{\vartheta}{(\vartheta-1)^2} $$

Sin embargo no entiendo cómo derivar correctamente. He intentado numerosos enfoques, pero ninguno de ellos ha funcionado hasta ahora. Podría alguien por favor me dan una pista sobre cómo evaluar la infinita suma de arriba y entender la derivación?

Gracias. :)

Answer 1

Varios métodos han sido propuestos. Aquí uno más. $$\eqalign{\sum{i\over\theta^i}&={1\over\theta}+{2\over\theta^2}+{3\over\theta^3}+{4\over\theta^4}+\cdots\cr&={1\over\theta}+{1\over\theta^2}+{1\over\theta^3}+{1\over\theta^4}+\cdots\cr&\qquad+{1\over\theta^2}+{1\over\theta^3}+{1\over\theta^4}+\cdots\cr&\qquad\qquad+{1\over\theta^3}+{1\over\theta^4}+\cdots\cr&\qquad\qquad\qquad+{1\over\theta^4}+\cdots\cr&={1/\theta\over1-(1/\theta)}+{1/\theta^2\over1-(1/\theta)}+{1/\theta^3\over1-(1/\theta)}+{1/\theta^4\over1-(1/\theta)}+\cdots\cr}$ $ , que es una serie geométrica que se pueden sumar para obtener la respuesta.

Answer 2

deje $$S=\sum_{i=1}^\infty\frac{i}{\theta^i}, (\theta>1),$$ entonces $$ \begin{align} S-\frac{1}{\theta}S&=\sum_{i=1}^\infty\frac{i}{\theta^i}-\sum_{i=1}^\infty\frac{i}{\theta^{i+1}}\\ &=\sum_{i=1}^\infty\frac{i}{\theta^i}-\sum_{i=2}^\infty\frac{i-1}{\theta^{i}}\\ &=\frac{1}{\theta}+\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{\theta^i}\\ &=\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2-\theta}, \end{align} $$ que los rendimientos de $$S=\frac{\theta}{(\theta-1)^2}$$

Answer 3

Sugerencia: Considerar la expectativa (primer momento) de la distribución geométrica. Específicamente, dejando $1 - p = 1/\vartheta $ en la derivación de la fórmula de ${\rm E}(Y)=(1-p)/p$ (en este enlace) nos da exactamente lo que usted está buscando.

De elaborar. Se muestra en el enlace de Wikipedia cómo derivar la igualdad $$ \sum\limits_{k = 0}^\infty {(1 - p)^k pk} = \frac{{1 - p}}{p}, \;\; 0 < p \leq 1. $$ Dejando $1-p = 1/\vartheta $, por lo que el $p=(\vartheta - 1)/\vartheta$, esto le da $$ \sum\limits_{k = 1}^\infty {k\frac{1}{{\vartheta ^k }}} = \frac{{1 - p}}{{p^2 }} = \frac{1}{\vartheta }\frac{{\vartheta ^2 }}{{(\vartheta - 1)^2 }} = \frac{\vartheta }{{(\vartheta - 1)^2 }}. $$ Es decir, $$ \sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{i}{{\vartheta ^i }}} = \frac{\vartheta }{{(\vartheta - 1)^2 }}. $$