Cómo resolver la siguiente integral

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente integral.

$$=\int_0^\infty\frac{x}{x^n+(\epsilon+\sigma)}dx$$

Empecé por el supuesto de que $a = \epsilon + \sigma$ e $$\implies x^n = A\tan^2(\theta)$$ A continuación, $$\implies x = a^{1/n}\tan^{2/n}(\theta)$$ $$\implies dx = \frac{2a^{1/n}}{n} (\tan(\theta))^{2/n-1}\sec^2(\theta)\text{ d}\theta$$

El uso de $\tan^2(\theta)+1 = \sec^2(\theta)$ y substituing ecuaciones anteriores, podemos escribir la Ec. 1 como:

$$=\frac{\frac{2a^{2/n}}{n}(\tan(\theta))^{4/n-1}\sec^2(\theta)\text{ d}\theta}{\sec^2(\theta)}$$

$$=\int_0^{\pi/2}\frac{2a^{2/n}}{n}(\tan(\theta))^{4/n-1} \text{ d}\theta$$

deje $B = \frac{2a^{2/n}}{n}$, luego

$$=\int_0^{\pi/2}B(\tan(\theta))^{4/n-1} \text{ d}\theta$$

Ahora, no sé cómo seguir adelante

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La respuesta Final de los autores es: $\large \frac{\pi\sigma(\epsilon+\sigma)^{2/n-1}}{n\sin(\frac{2\pi}{n})}$

Answer 1

Sugerencia :

Observe que, en sustitución de $x=(at)^{1/n}$ donde $a=\epsilon +\sigma$ integral de los cambios a $$I= \frac {a^{\frac 2n -1}}{n} \int_0^{\infty} \frac {t^{\frac 2n -1}}{1+t}dt $$

Observe que la parte integral es sólo $B\left( \frac 2n, 1-\frac 2n\right)$ Donde $B(x,y)$ es el estándar de la Función Beta.

Utilizando la relación entre la función Gamma y Beta de la función y, a continuación, utilizar la de Euler Reflexión fórmula para la función Gamma es decir $$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac {\pi}{\sin (\pi z)}$$ usted puede evaluar la integral.

Answer 2

Observar que hemos \begin{align} \int^\infty_0 \frac{x}{x^n+a}\ dx = a^{(2-n)/n}\int^\infty_0 \frac{y}{1+y^n}\ dy. \end{align} Por lo tanto, es suficiente para evaluar \begin{align} \int^\infty_0 \frac{y}{1+y^n}\ dy. \end{align} La forma más fácil es usar el contorno de la integración. Observar \begin{align} \int^R_0 \frac{y}{1+y^n}\ dy + \int_{C_R} \frac{z}{1+z^n}\ dz - \int_0^R \frac{(R-t)e^{i4\pi/n}}{1+(R-t)^n}dt = 2\pi i \operatorname{Res}\left(\frac{z}{1+z^n}, z_0=e^{i\pi/n} \right) \end{align} donde $C_R$ es el arco de la circunferencia de radio $R$ y el ángulo de $2\pi/n$. Por lo tanto vemos que \begin{align} (1-e^{i4\pi/n}) \int^R_0 \frac{x}{1+x^n}\ dx +\int_{C_R} \frac{z}{1+z^n}\ dz= 2\pi i\frac{z_0}{nz_0^{n-1}} = \frac{2\pi i}{ne^{i\pi (n-2)/n}} \end{align} lo que significa que \begin{align} \int^\infty_0 \frac{x}{1+x^n}\ dx =& \frac{2\pi i}{ne^{i\pi(n-2)/n}(1-e^{4i\pi/n})}= \frac{2\pi i}{ne^{i\pi }(e^{-2\pi i/n}-e^{2\pi i/n})} \\ =& \frac{\pi}{n\sin\left(\frac{2\pi}{n} \right)}. \end{align} Finalmente, la combinación de todo rendimientos \begin{align} \int^\infty_0 \frac{x}{x^n+(\sigma+\varepsilon)}\ dx = \frac{\pi (\sigma+\varepsilon)^{2/n-1}}{n\sin\left(\frac{2\pi}{n} \right)}. \end{align}