La dificultad de calcular con funciones racionales

Question

Estoy teniendo problemas para calcular la imagen de un punto de $P=[0:0:1]$ bajo un polinomio mapa:$$f:V \to \mathbb{P}^1 : [x:y:z] \mapsto [y:x]$$ where $$V = \left\{ [x:y:z] \in \mathbb{P}^2 ~\mid~ zy^2 = zx^2 + x^3 \right\}.$$

¿Qué es $f([0:0:1])$?

Dead end

Aviso que los polinomios no funcionan en este momento (pero que hacer en cada punto de $V$) desde $[0:0]$ no es una expresión válida para un punto en $\mathbb{P}^1$. He encontrado una expresión diferente, $$f([x:y:z]) = [zx+x^2:zy],$$ but this expression is not defined at $[0:0:1]$, $[0:1:0]$, or $[-1:0:1]$, por lo que es objetivamente peor expresión. ¿Cómo puedo encontrar una tercera expresión?

Problema Similar donde funcionan las cosas:

Deje $\mathbb{P}^n$ ser proyectiva del espacio a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$, por lo que el $\mathbb{P}^n$ se compone de todos los $(n+1)$-tuplas $[x_0 : x_1 : \cdots : x_n ]$ con $(x_0,x_1,\ldots,x_n) \neq (0,0,\ldots,0)$ con dos tuplas $[x_0 : x_1 : \cdots : x_n ] = [y_0 : y_1 : \cdots : y_n ]$ consideran equivalentes si hay algún valor distinto de cero $\lambda$ en $k$ con $\lambda x_i = y_i$ para $i=0,1,\ldots,n$.

Vamos $$V = \left\{ [x:y:z] \in \mathbb{P}^2 ~\mid~ x^2 + y^2 = z^2, (x,y,z) \neq(0,0,0) \right\}$$ be the (projective) circle, and let $$W = \left\{ [ x:y ] \in \mathbb{P}^1 ~\mid~ (x,y) \neq 0 \right\}$$ ser la proyectiva de la línea, y dejar que $$f : V \W : [x:y:z] \mapsto \begin{cases} [ y-z : x ] & \text{ unless } [x:y:z] = [0:1:1] \\\ [ x : y+z ] & \text{ unless } [x:y:z] = [0:-1:1] \\ \end{casos}.$$

Tenga en cuenta que esta regla para $f$ a nivel mundial es válida y la función está bien definida. En otras palabras, las dos definiciones coinciden en su superposición, y cada punto de $V$ está cubierto por una de las definiciones.

Answer 1

Usted puede dejar de mirar por una tercera expresión de $f$: que la función racional no está definida en $P$.
Nótese que no estoy diciendo que $f$ tiene un polo en $P$: estoy diciendo que tiene un punto de indeterminación en $P$ y $f$ no puede ser extendida a una de morfismos $V\to \mathbb P^1$.

En contraste, un racional mapa de una suave curva proyectiva a una variedad proyectiva es en realidad una de morfismos es decir, no tiene ningún tipo de indeterminación: esto explica su éxito con el círculo .
Sin embargo, el punto de $P$ a $V$ es singular : esto explica su fracaso [o más bien el fracaso de $f$ :-)] con el strophoid $V$ .

Y en realidad todo esto es visible con el ojo desnudo en tu ejemplo: en el afín parte $z=1$ de la curva, la racional mapa de $f$ envía el punto de $Q=(x,y)=[x:y:1]$ para la pendiente $f(Q)=y/x$ del acorde $\overline{PQ}$.
En el límite cuando $Q$ tiende a $P$ que la pendiente tiende a $+1$ o $-1$, según la rama de la strophoid en que $Q$ mentiras.
Sin embargo, la topología de Zariski es demasiado grueso para distinguir entre estas dos ramas, y que es el geométrico, razón por la $f$ no está definido en $P$.

Editar
La última sección anterior nos muestra la manera de corregir este error de $f$.
Nos normalizar la curva de $V$, de modo que $P$ es sustituido por dos puntos de $P_1, P_{-1}$ e $f$ le enviará estos puntos, respectivamente, a $1$ e $-1$. Técnicamente, la normalización es $$n:\mathbb P^1\to V:[u:v]\mapsto [u^2v-v^3:u^3-uv^2:v^3] $$ and the composition of $n$ and $f$ is the everywhere defined morphism $$\tilde f=f\circ n:\mathbb P^1\to \mathbb P^1:[u:v]\mapsto [ u^3-uv^2:u^2v-v^3]=[u:v]$$
En otras palabras $\tilde f$ es la identidad!
Compruebe que los puntos por encima de la $P=[0:0:1]$ se $P_1=[1:1], P_{-1}=[-1:1]$ y $\tilde f(P_1)=[1:1]=\text {slope }(1/1), \;\tilde f(P_{-1})=[-1:1]=\text {slope } (-1/1)$

Answer 2

En orden para $f=(f_0:\cdots:f_n)$ a definir un racional mapa de algunos $X$ a $\mathbb P^n,$ debemos tener no todos los $f_i=0.$ Esto es parte de la definición de una racional mapa, ya que de lo contrario nos encontramos con el problema de la asignación a $(0:\cdots:0),$ que no tiene ningún sentido. Así, en el segundo ejemplo, es exactamente la modificación de la expresión con el fin de definir un racional mapa en cada punto de $V.$ En el primer lugar, se debe decir $f:[x:y:z]\to[y:x]$ menos si $x=y=0.$ tal y Como está, no hemos asignado un valor a $f((0:0:1)),$ y, para ello, debemos encontrar una expresión alternativa para $f$ en un gráfico diferente (coincidiendo con la primera expresión en una superposición), como lo hizo en el segundo ejemplo.

Variación sobre un tema:

A través de la carta $z=1$ que hemos estado usando, el estallido $\tilde V$ de % de $V$ puede ser calculada como la estricta transformación de $V$ bajo$\mathrm{Bl}_{(0,0)}\mathbb A^2\subseteq\mathbb A^2\times\mathbb P^1\to\mathbb A^2.$, Lejos de la $(0,0),$ el punto de $(x,y)$ corresponde a $(x,y;x:y),$, de modo que si por ejemplo, $x\neq 0$ obtenemos $(x,y;1:y/x)$ como el único punto de la fibra por encima de $(x,y).$ (Como se dio cuenta, esta es la gráfica de su función!) Pero sobre el origen de dos puntos, $(0,0;1:1)$ e $(0,0;1:-1)$ correspondiente a las ramas de su parametrización en $(0,0).$ Hay una natural mapa de $\tilde f:\tilde V\to\mathbb P^1,$ la restricción de la proyección de $\mathbb A^2\times\mathbb P^1\to\mathbb P^1,$, lo que eleva el original $f$ (e $\tilde f:\tilde V\to\mathbb P^1$ es esencialmente la identidad, como con la normalización).