Solución General de la Ecuación de Laplace

Question

Mostrar que la solución general de la ecuación de Laplace, $$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2\phi}{\partial y^2}=0$$ es $\phi(x,y)=f(x+iy)+g(x-iy)$.

El único pensamiento que tengo es dejar que $x+iy$ ser $z$, un número complejo por lo $\phi=f(z)+g(z^*)$. ¿Cuáles son los próximos pasos

Answer 1

Se le pide que muestre que la solución general de una ecuación tiene una forma particular, por lo que debería comenzar a partir de la ecuación. Vio correctamente que es una buena idea para hacer un cambio de variables, $$z=x+iy, \qquad \bar{z} = x-iy.$$ By the Chain Rule, you can verify that $$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \quad \text{and} \quad \frac{\partial}{\partial y} = i\left( \frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \right).$$ Let me also write $\phi(x,y) = \psi(z, \bar{z})$ for the new function that we want to solve for after making the change of variables. It is an easy calculation to check that $$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \phi =\left(\frac{\partial}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \right) \left( \frac{\partial}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \right) \psi = \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} + 2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial z \partial \bar{z}} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial \bar{z}^2},$$ and that $$\frac{\partial^2}{\partial y^2} \phi =(i)^2 \left(\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \right) \left( \frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial \bar{z}} \right) \psi = -\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} + 2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial z \partial \bar{z}} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial \bar{z}^2}.$$ So your equation becomes $$4 \frac{\partial^2 \psi}{\partial z \partial \bar{z}} = 0.$$ se Puede ver cómo acabar con ella? [Sugerencia: integrar].

Answer 2

Vamos a exigir la sustitución de $z=x+iy$ e $\bar z=x-iy$. Entonces, tenemos

$$\begin{align} \frac{\partial \phi}{\partial x}&=\frac{\partial \phi}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial \bar z}\frac{\partial \bar z}{\partial x}\\\\ &=\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{\partial \phi}{\partial \bar z} \end{align}$$

y

$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}+2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial \bar z}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial \bar z^2} \tag 1$$

Del mismo modo, para la derivada parcial con respecto a $y$, tenemos

$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}+2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial \bar z}-\frac{\partial^2 \phi}{\partial \bar z^2} \tag 2$$

La adición de $(1)$ e $(2)$, obtenemos

$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=4\frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial \bar z}=0 \tag 3$$

con lo cual la solución de $(3)$ para $\phi$ revela que $\phi(z,\bar z) = f(z)+g(\bar z)$. Por último, la sustitución de la espalda para $z$ e $\bar z$ rendimientos

$$\phi(x,y)=f(x+iy)+g(x-iy)$$

como iba a ser mostrado.

Answer 3

Si nos fijamos en $$ \partial_{xx}\phi + \partial_{yy}\phi = \left(\partial_x + i\partial_y\right)\left(\partial_x - i\partial_y\right)\phi = 0 $$ una solución puede ser cualquier que toma la forma de $z = x+iy$ o $\bar{z} = x-iy$ puede ser utilizado para transformar esta última expresión como $$ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z\partial \bar{z}} = 0 $$ lo que implica una solución general $$ \phi = F(z) + G(\bar{z}) $$ por lo tanto teniendo que $$ \frac{\partial^2 }{\partial z\partial \bar{z}}\left[ F(z) + G(\bar{z})\right] = \frac{\partial }{\partial \bar{z}}F'(z) + \frac{\partial }{\partial z} G'(\bar{z}) = 0 $$