Verifica mi prueba de que $N$ en $ N = (P_1 \cdot P_2...P_n)+1 $ debe ser impar.

Question

Soy un novato. ¿Es válido lo siguiente?

$$ N = (P_1 \cdot P_2...P_n)+1 $$

donde $Pi$ es el $i^{th}$ número primo consecutivo y $n$ es cualquier número natural. Si $N$ está en paz, $\dfrac{N}{2} \in \Bbb{N}$ , que se puede poner en la primera ecuación así:

$$ \frac{N}{2} = \frac{(P_1 \cdot P_2...P_n)}{2}+\frac{1}{2} $$

donde se espera que $ \dfrac{(P_1 \cdot P_2...P_n)}{2}+\dfrac{1}{2} \in \Bbb{N} $ también. $P_1 = 2$ siendo el primer número primo y por tanto

$$ \frac{(P_1 \cdot P_2...P_n)}{2} = \frac{2(P_2 \cdot P_3...P_n)}{2} = P_2 \cdot P_3...P_n $$

donde $P_2 \cdot P_3...P_n \in \Bbb{N}$ . Porque $\dfrac{1}{2} \notin \Bbb{N}$ , $\dfrac{(P_1 \cdot P_2...P_n)}{2}+\dfrac{1}{2} \notin \Bbb{N}$ porque cualquier número natural más un número no natural no es un número natural.

Porque el lado derecho de la primera ecuación no pertenece a $\Bbb{N}$ , $\dfrac{N}{2} \notin \mathbb N$ también. Así, $N$ es impar.

Answer 1

Eso es realmente complicado, pero sí, tienes razón. Una forma más fácil de verlo sería la siguiente:

Como $P_1 = 2$ tenemos que $$P_1\cdot P_2 \cdot \ldots \cdot P_n = 2\cdot P_2 \cdot \ldots \cdot P_n$$ está en paz. Ahora $1$ es impar, y puede que sepas que incluso más impar siempre da impar, caso cerrado. :)

Answer 2

Si $P_1 = 2$ , obviamente $N = 2k + 1$ es impar, por lo que su argumento después de "Si $N$ es incluso " no es válido.

Answer 3

Esto me recuerda al PRIMEGAME de Conway, en el que se utiliza una lista de fracciones para obtener potencias de 2 con índices primos. En comparación, hace que la criba de Eratóstenes parezca muy sofisticada. Pero su pregunta supone que ya conocemos los números primos.

Usted afirma que $P_1 = 2$ . Obviamente, eso es parejo. También lo está $P_1 P_2$ . Y $P_1 P_2 P_3$ . Y cualquier $P_1 P_2 \ldots P_n$ para $n > 2$ . Estos números son todos divisibles por 2 pero no por 4: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, etc. Véase Sloane's A002110 .

Por lo tanto, reducir a la mitad $N$ es un desvío entretenido pero innecesario. Desde $P_1 P_2 \ldots P_n$ es par, se deduce inmediatamente que $N = P_1 P_2 \ldots P_n + 1$ es impar.

Esto no quiere decir que no existan situaciones en las que reducir un número a la mitad sea útil. Existen tales situaciones. Sólo que ésta no es una de esas situaciones.