La existencia de un mínimo de $\sigma$-álgebra y la inducción transfinita

Question

Es bien sabido que:

Dado un conjunto $X$ y una colección de $\cal S$ de los subconjuntos de $X$, existe un $\sigma$-álgebra $\cal B$ contiene $\cal S$, de tal manera que $\cal B$ es el más pequeño de $\sigma$-álgebra que cumplan esta condición.

Ciertos textos, Lieb y la Pérdida, el Análisis de, por ejemplo, afirmar que la prueba de esta afirmación requiere de la inducción transfinita. Por otro lado, uno puede definir $\mathcal B$ a ser la intersección de todos los $\sigma$-álgebras que contengan $\cal S$. Qué enunciado es correcto? O, ¿hay un oculto de inducción transfinita contenido en algún lugar?

Debo confesar aquí que sólo tengo vagos ideaos del conjunto riguroso de la teoría de fundamentos de la matemática.

Answer 1

La intersección de todos los $\sigma$-álgebras que incluyen $\mathcal S$ es una perfectamente buena manera de obtener el menor dichas $\sigma$-álgebra, y la prueba de que funciona no requiere de la inducción transfinita.

Answer 2

Lieb y la Pérdida de decir tal cosa, como lo que puedo decir. De hecho, en la página 4, se lee

"Considerar todos los sigma-álgebras que contengan $\mathcal{F}$ y tome su intersección, que llamamos $\sum$, es decir, un subconjunto $A \subset \Omega$ es de $\sum$ si y sólo si $A$ está en cada sigma-álgebra que contiene $\mathcal{F}$. Es fácil comprobar que $\sum$ es de hecho una sigma-álgebra. De hecho, es el más pequeño de sigma-álgebra que contiene $\mathcal{F}$..."