Si $\pi$ es una Gaussiana primer de $\mathbb{Z}[i]$ que divide exactamente a un primer de $\mathbb{Z}$, se divide sólo que uno de los prime.
En realidad, se divide dos números primos.
Ahora, el producto $\pi \overline \pi$ es la norma de la función. Vamos a decir $\pi = a + bi$ donde $a, b \in \mathbb{Z}$. A continuación,$\pi \overline \pi = (a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - (-1)b^2 = a^2 + b^2 = N(\pi)$. Así que si $p$ es una de las principales de $\mathbb{Z}$, podemos establecer $a = p$ e $b = 0$, y por lo $N(\pi) = p^2$. Si, por otro lado, $N(\pi) = p$ en lugar de $p^2$,, a continuación, $\pi$ debe ser un número complejo con parte real distinto de cero y distinto de cero la parte imaginaria.
Lo realmente importante resultado que necesitamos aquí es que la norma de la función es multiplicativo. Es decir, $N(\alpha \beta) = N(\alpha) N(\beta)$. Por ejemplo, $N(4 - 5i) = N(4 + 5i) = 41$. Y $(4 - 5i)(4 + 5i) = 41$, y, de hecho,$N(41) = 41^2 = 1681$.
Así que si $N(\alpha \beta) = n$, lo que significa que $N(\alpha)$ es un número entero de $\mathbb{Z}$ que es un divisor de $n$. Por ejemplo, si $N(\alpha \beta) = 10$, tendríamos $N(\alpha) = 2$ o $5$. Y podemos hacerlo porque en $10$ es compuesto. Pero si $n = p$ es primo, entonces las únicas posibilidades para $N(\alpha)$ se $1$ e $p$. Lo mismo va para $N(\beta)$. Recuerda que si $p$ es negativo, su norma es, sin embargo, positivo (y esto es cierto también en otras imaginarias cuadrática de los anillos).
Por lo tanto, $\pi$ solo puede dividir dos números primos de $\mathbb{Z}$. En el ejemplo anterior de $4 + 5i$, vemos que $$\frac{41}{4 + 5i} = 4 - 5i$$ and $$\frac{-41}{4 + 5i} = -4 + 5i.$$
