¿Para qué vectores será singular$I-uv^*$?

Question

Deje $u,v$ ser $1\times m$ vectores. Por lo que los vectores $u$ e $v$ le $A:=I-uv^*$ ser singular? Y si es singular, ¿cuál es su nulidad?

Mi enfoque es que el rango de $uv^*$ es $1$, lo $m-1$ autovalores son el cero y el uno de los autovalores de $uv^*$ debe $1$. Esto es debido a que $(I-uv^*)x=(1-\lambda')x$, $x\ne 0$. Ahora, podemos representar el polinomio característico de $uv^*$ as $\lambda'^{(m-1)}(\lambda'-u_{ij} \overline{v}_{ji})$ para algunos $i,j$. ¿Esto implica que $u,v$ debe satisfacer la condición de que $u$ e $v$ debe tener una entrada $u_{ij}$ e $v_{ij}$ tal que $u_{ij}v_{ji}=1$, que es $u_{ij}$ e $v_{ji}$ son raíces de la unidad, y son iguales?

Answer 1

$$\DeclareMathOperator{vspan}{span}$$I don't think your expression for the characteristic polynomial is correct (since $u, v$ son los vectores, que sólo debe tener en el índice). Sospecho que si usted corrección de la expresión, se obtiene el resultado correcto (que incluye más de los vectores que lo que tiene actualmente).

Sin embargo, hay una manera más fácil para simplificar el problema. Como te has dado cuenta, el problema es equivalente a encontrar al $uv^*$ tiene un autovalor de $1$. Observe que $$(uv^*)w = (v^*w)u$$

de modo que el vector propio de $uv^*$ debe $u$. Por otro lado, $$(uv^*)u = (v^*u)u$$ así que el autovalor de $u$ es $v^*u$. Por lo tanto, la condición es que $v^*u = 1$.

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de cobre.sombrero en los comentarios a la pregunta menciona el Sherman-Morrison fórmula. Esta fórmula se obtiene la expresión para $(A + uv^*)^{-1}$ en términos de $A^{-1}$, $u$, y $v$. En particular, los estados que $$(A + uv^*)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}u v^* A^{-1}}{1 + v^* A^{-1} u}.$$ Tomando $A = I$, vemos que podemos calcular $(I + uv^*)^{-1}$ siempre $1 + v^*u \neq 0$, lo que confirma nuestra cálculo previo.

Answer 2

Deje que$(\lambda,w)$ sea un eigen par de$A$, luego$$Aw = (I - uv^*)w = \lambda w$ $ ie$$w - (v^*w)u = \lambda w$ $ Deje$\lambda = 0$, luego$$w = (v^*w)u \tag{1}$ $ Esto significa que un vector propio en el espacio nulo debe estar a lo largo de$u$, por lo tanto,$w = \alpha u$ y por lo tanto$(1)$ se convierte en$$(v^*\alpha u)u = \alpha u $ $ lo que da$$(v^*u)u = u $ $

Lo que significa que $v^*u = 1$. Esta es la única condición que necesita para que$I - uv^*$ sea singular. Además, y como argumentan, esto significará que bajo la condición de que$v^*u = 1$, el único vector propio en el espacio nulo es$u$.