Un conjunto con un número finito integral de medida cero?

Question

Probar, o dar un contraejemplo: Deje $\mu$ ser finito positivo de la medida de borel en $\mathbb{R}$. A continuación, $\int (x-y)^{-2} d \mu (y) = \infty $ en casi todas partes en $\mu$ (para la selección de x).

Esta es una pregunta que me tiene en un examen, y la respuesta que se supone será presentado en menos de 30 palabras, así que debe ser algo bastante simple, me estoy perdiendo.

Answer 1

Sí que es cierto. Consideremos el conjunto a $S$ en el que la integral en cuestión está delimitado por un valor positivo $K$. A continuación, $\mu$ no tienen medida mayor que $K\epsilon^2$ en cualquier intervalo de anchura $\epsilon$ de intersección $S$. Sin embargo, cualquier intervalo de $[a,b]$ puede ser dividido en $n$ intervalos de anchura $(b-a)/n$. Por eso, $\mu(S\cap[a,b])$ está delimitado por $n K ((b-a)/n)^2$. Deje $n$ ir hasta el infinito.

Yo no cuento, pero sé que superó los 30 palabras por un justo margen.

El argumento es fácilmente adaptado para mostrar que $\int\vert x-y\vert^{-1-\epsilon}\,d\mu(y)$ es infinito $\mu$-casi en todas partes por cualquier $\epsilon > 0$. La pregunta más difícil es si el mismo es de $\int\vert x-y\vert^{-1}\,d\mu(y)$.

Answer 2

este es un torpe solución y, sin duda, demasiado largo, pero de todos modos. La respuesta es sí. Hay un (débilmente) el aumento de la función $f:I\to\mathbb{R}$ tal que $\mu$, es el impulso hacia adelante de la medida de Lebesgue en $I$ a $\mathbb{R}$ ($f$ es, en términos generales, a la inversa de $F(x)=\mu((-\infty,x])$). Su integral se convierte en $\int_I (f(x)-f(y))^{-2} dy$ (", donde " su $x$" es "mi $f(x)$"). Desde $f$ es monotono, se ha derivado una.e. Si $x$ es en el conjunto donde la derivada es $<A$ (para cualquier positivos $A$), entonces la integral es $\infty$ en comparación con $\int_I (x-y)^{-2} dy$. Por lo tanto la integral es$\infty$.e. $x$.

(no es muy bonito pero posiblemente corregir :)